（本题满分8分）如图，A1A是圆柱的母线，AB是圆柱底面圆的直径， C是底面圆周上异于A，B的任意一点，A1A= AB=2.（Ⅰ）求证: BC⊥平面A1AC；（

题型：不详难度：来源：

（本题满分8分）
如图，A₁A是圆柱的母线，AB是圆柱底面圆的直径， C是底面圆周上异于A，B的任意一点，A₁A= AB=2.
（Ⅰ）求证: BC⊥平面A₁AC；
（Ⅱ）求三棱锥A₁-ABC的体积的最大值.

答案

（Ⅰ）略
（Ⅱ）时，三棱锥A₁-ABC的体积的最大值为.   

解析

证明:∵C是底面圆周上异于A，B的任意一点，且AB是圆柱底面圆的直径，
∴BC⊥AC, ∵AA₁⊥平面ABC，BCÌ平面ABC，∴AA₁⊥BC，
∵AA₁∩AC=A，AA₁Ì平面AA₁ C，ACÌ平面AA₁ C，
∴BC⊥平面AA₁C. （3分）
(2)设AC=x，在Rt△ABC中， (0<x<2) ,
故(0<x<2),　　（５分）
即.
∵0<x<2，0<x²<4，∴当x²=2，
即时，三棱锥A₁-ABC的体积的最大值为.　　（８分）