如图,在直三棱柱ABC—A1B1C1中,AB⊥BC,P为A1C1的中点,AB=BC=kPA。(I)当k=1时,求证PA⊥B1C;(II)当k为何值时,直线PA与
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如图,在直三棱柱ABC—A1B1C1中,AB⊥BC,P为A1C1的中点,AB=BC=kPA。(I)当k=1时,求证PA⊥B1C;(II)当k为何值时,直线PA与
题型:不详
难度:
来源:
如图,在直三棱柱ABC—A
1
B
1
C
1
中,AB⊥BC,P为A
1
C
1
的中点,AB=BC=kPA。
(I)当k=1时,求证PA⊥B
1
C;
(II)当k为何值时,直线PA与平面BB
1
C
1
C所成的角的正弦值为
,并求此时二面角A—PC—B的余弦值。
答案
(I)证明略
(II)二面角A—PC—B的余弦值是
解析
(方法一)
(I)连接B
1
P,因为在直三棱柱ABC—A
1
B
1
C
1
中,P为A
1
C
1
的中点,
AB=BC,所以B
1
P⊥面A
1
C。
所以B
1
P⊥AP。
又因为当k=1时,
AB=BC=PA=PC,
∴AP⊥PC。
∴AP⊥平面B
1
PC,
∴PA⊥B
1
C。
(II)取线段AC中点M,线段BC中点N,
连接MN、MC
1
、NC
1
,
则MN//AB,∵AB⊥平面B
1
C,∴MN⊥平面B
1
C,
是直线PA与平面BB
1
C
1
C所成的角,
设AB=a,
即
时,直线PA与平面BB
1
C
1
C所成的角的正弦值为
此时,过点M作MH,垂足为H,连接BH,
,
由三垂线定理得BH⊥PC,
所以
是二面角A—PC—B的平面角。
设AB=2,则BC=2,PA=-4,
,
在直角三角形中AA
1
P中
,
连接MP,在直角三角形中
由
,
又由
,在直角三角形中BMH中,
解得
,
在直角三角形BMH中
所以二面角A—PC—B的余弦值是
(方法二)
以点B为坐标原点,分别以直线BA、BC、BB
1
为x轴、y轴建立空间直角坐标
系Oxyz,
(I)设AB=2,则AB=BC=PA=2
根据题意得:
所以
(II)设AB=2,则
,
根据题意:A(2,0,0),C(0,2,0)
又因为
所以
,
所以由题意得
即
即
时,直线PA与平面BB
1
C
1
C所成的角的正弦值为
的法
向量
设平面BPC的一个法向量为
由
,得
,
所以此时二面角A—PC—B的余弦值是
举一反三
(本小题满分14分) 如图3所示,四棱锥
中,底面
为正方形,
平面
,
,
,
,
分别为
、
、
的中点.
(1)求证:
;
(2)求二面角
D
-
FG
-
E
的余弦值.
题型:不详
难度:
|
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三棱锥A-BCD中,BA
AD,BC
CD,且AB=1,AD=
,则此三棱锥外接球的体积为
题型:不详
难度:
|
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(本题共12分)如图所示,四边形ABCD是矩形,
,F为CE上的点,且BF
平面ACE,AC与BD交于点G
(1)AE
平面BCE
(2)AE//平面BFD
(3)锥C-BGF的体积
题型:不详
难度:
|
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(本题共12分)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为菱形,
,Q为AD的中点
(1) 若PA=PD,求证: 平面PQB
平面PAD
(2)点M在线段PC上,PM=
PC,试确定实数
的值,使得PA//平面MQB
题型:不详
难度:
|
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(本小题满分12分)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是正方形,侧棱PD
底面ABCD,PD=DC,E是PC的中点,作EF
PB交PB于点F
(1)、证明:PA∥平面DEB;
(2)、证明:PB
平面EFD;
(3)、设PD=1,求DF的长。
题型:不详
难度:
|
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