(本小题满分14分)如图:直平行六面体ABCD-A1B1C1D1,底面ABCD是边长为2a的菱形,∠BAD=600,E为AB中点,二面角A1-ED-A为600(

(本小题满分14分)如图:直平行六面体ABCD-A1B1C1D1,底面ABCD是边长为2a的菱形,∠BAD=600,E为AB中点,二面角A1-ED-A为600(

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(本小题满分14分)如图:直平行六面体ABCD-A1B1C1D1,底面ABCD是边长为2a的菱形,∠BAD=600,E为AB中点,二面角A1-ED-A为600
(I)求证:平面A1ED⊥平面ABB1A1
(II)求二面角A1-ED-C1的余弦值;
(III)求点C1到平面A1ED的距离。
答案
(I)同解析,(II)二面角A1-ED-C1的余弦值为(III)点C1到平面A1ED的距离为
解析
解:(I)证明:连结BD,在菱形ABCD中,∠BAD=600,∴△ABD为正三角形,
∵E为AB的中点,∴ED⊥AB (1分)
在直六面体ABCD-A1B1C1D1中:
平面ABB1A1⊥平面ABCD且交于AB,∵ED面ABCD∴ED⊥面ABB1A1(3分)
∴平面A1ED⊥平面ABB1A1(4分)
(II)解:由(I)知:ED⊥面ABB1A1∵A1E面ABB1A1∴A1E⊥ED
又在直平行六面体ABCD-A1B1C1D1中:AA1⊥面ABCD,
由三垂线定理的逆定理知:AE⊥ED,∴∠A1EA=600(5分)
取BB1的中点F,连EF.AB1,则EF,在直平行六面体ABCD-A1B1C1D1中:AB1DC1∴EF∴E.F.C1、D四点共面(6分)
∵ED⊥面ABB1A1且EF面ABB1A1
∴EF⊥ED∴∠A1EF为二面角A1-ED-C1的平面角(7分)
在Rt△A1AE中:
在Rt△EBF中:
在Rt△A1B1F中:
∴在Rt△A1EF中:,∴二面角A1-ED-C1的余弦值为(9分)
(III)过F作FG⊥A1E交A1E于G点∵平面A1ED⊥面ABB1A1
且平面A1ED∩面ABB1A1=A1E∴FG⊥平面A1ED,
即:FG是点F到平面A1ED的距离(11分)
在Rt△EGF中:
(13分)
∵EF且E.D∈面A1ED∴点C1到平面A1ED的距离为(14分)
举一反三
棱长为3的正三棱柱内接于球O中,则球O的表面积为
A.36B.21C.9D.8

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(本小题12分)四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,AB∥CD,AD=CD=1,∠BAD=120°,PA=,∠ACB=90°。
(1)求证:BC⊥平面PAC;
(2)求二面角D-PC-A的大小的正切值;
(3)求点B到平面PCD的距离。
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已知E,F分别是正方体ABCD-A1B1C1D1的棱BC和CD的中点,求:
(1)A1D与EF所成角的大小;
(2)A1F与平面B1EB所成角;
(3)二面角C-D1B1-B的大小.
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(本小题满分12分)如图,在底面为直角梯形的四棱锥中,平面.PA=4,AD=2,AB=,BC=6
(Ⅰ)求证:平面
(Ⅱ)求二面角D—PC—A的大小.
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正四面体ABCD的棱长为1,棱AB//平面,则正四面体上的所有点在平面内的射影构成图形面积的取值范围是
A.B.
C.D.

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