(Ⅰ)证明:直三棱柱ABC-A1B1C1,底面三边长AC=3,BC=4,AB=5,
∴ AC⊥BC, …………………2分 又 AC⊥,且 ∴ AC⊥平面BCC1,又平面BCC1 ……………………………………4分 ∴ AC⊥BC1 ………………………………………………………………5分 (Ⅱ)解法一:取中点,过作于,连接 …………6分 是中点, ∴ ,又平面 ∴平面, 又平面,平面 ∴ ∴ 又且 ∴平面,平面 ………8分 ∴ 又 ∴是二面角的平面角 ……………………………………10分 AC=3,BC=4,AA1=4, ∴在中,,, ∴ …………………………………………11分 ∴二面角的正切值为 …………………………………………12分 解法二:以分别为轴建立如图所示空间直角坐标系…………6分 AC=3,BC=4,AA1=4, ∴, ,,, ∴,
平面的法向量, …………………8分 设平面的法向量, 则,的夹角(或其补角)的大小就是二面角的大小 …………9分 则由 令,则, ∴ ………………10分 ,则 ……………11分 ∵二面角是锐二面角 ∴二面角的正切值为 ………………………… 12分 |