解:方法1:(I)证明:∵平面PAD⊥平面ABCD, ,
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191021/20191021024212-63908.jpg)
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191021/20191021024212-77144.jpg) ∴ 平面PAD, …………(2分) ∵ E、F为PA、PB的中点, ∴EF//AB,∴EF 平面PAD; …………(4分) (II)解:过P作AD的垂线,垂足为O, ∵ ,则PO 平面ABCD. 连OG,以OG,OD,OP为x、y、z轴建立空间坐标系, …………(6分) ∵PA=PD ,∴ , 得 ,
,故 , 设平面EFG的一个法向量为 则 ,
, …………(7分) 平面ABCD的一个法向量为![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191021/20191021024215-26339.gif) 平面EFG与平面ABCD所成锐二面角的余弦值是:
,锐二面角的大小是 ; …………(8分) (III)解:设 ,M(x, ,0),则 , 设MF与平面EFG所成角为 , 则 ,
或 ,∵M靠近A,∴ …………(10分) ∴当 时, MF与平面EFG所成角正弦值等于 . …………(12分) 方法2:(I)证明:过P作P O AD于O,∵ , 则PO 平面ABCD,连OG,以OG,OD,OP为x、y、z轴建立空间坐标系, …………(2分) ∵PA=PD ,∴ , 得 ,
, 故 , ∵ , ∴EF 平面PAD; …………(4分) (II)解: , 设平面EFG的一个法向量为 则 , , …………(7分) 平面ABCD的一个法向量为 ……【以下同方法1】 方法3:(I)证明:∵平面PAD⊥平面ABCD, , ∴ 平面PAD, …………(2分) ∵E、F为PA、PB的中点, ∴EF//AB,∴EF 平面PAD; …………(4分) (II)解:∵ EF//HG,AB//HG,∴HG是所二面角的棱, …………(6分) ∵HG // EF,∴ 平面PAD, ∴DH HG, EH HG, ∴ EHA是锐二面角的平面角,等于 ; …………(8分) (III)解:过M作MK⊥平面EFG于K,连结KF, 则 KFM即为MF与平面EFG所成角, …………(10分) 因为AB//EF,故AB/平面EFG,故AB/的点M到平面EFG的距离等于A到平面EFG的距离,∵ 平面PAD,∴平面EFGH 平面PBD于EH, ∴A到平面EFG的距离即三角形EHA的高,等于 ,即MK , ∴ , ,在直角梯形 中, , ∴ 或 ∵M靠近A,∴ …………(11分) ∴当 时, MF与平面EFG所成角正弦值等于 . …………(12分) |