解法一: (1) 过O作OF⊥BC于F,连接O1F, ∵OO1⊥面AC,∴BC⊥O1F, ∴∠O1FO是二面角O1-BC-D的平面角,········ 3分 ∵OB = 2,∠OBF = 60°,∴OF =. 在Rt△O1OF中,tan∠O1FO = ∴∠O1FO="60°" 即二面角O1—BC—D的大小为60°············· 6分 (2) 在△O1AC中,OE是△O1AC的中位线,∴OE∥O1C ∴OE∥O1BC,∵BC⊥面O1OF,∴面O1BC⊥面O1OF,交线O1F. 过O作OH⊥O1F于H,则OH是点O到面O1BC的距离,··········· 10分 ∴OH = ∴点E到面O1BC的距离等于················ 12分 解法二: (1) ∵OO1⊥平面AC, ∴OO1⊥OA,OO1⊥OB,又OA⊥OB,········· 2分 建立如图所示的空间直角坐标系(如图) ∵底面ABCD是边长为4,∠DAB = 60°的菱形, ∴OA = 2,OB = 2, 则A(2,0,0),B(0,2,0),C(-2,0,0),O1(0,0,3)··· 3分 设平面O1BC的法向量为=(x,y,z),则⊥,⊥, ∴,则z = 2,则x=-,y = 3, ∴=(-,3,2),而平面AC的法向量=(0,0,3)········ 5分 ∴ cos<,>=, 设O1-BC-D的平面角为α, ∴cosα=∴α=60°. 故二面角O1-BC-D为60°.······················ 6分 (2) 设点E到平面O1BC的距离为d, ∵E是O1A的中点,∴=(-,0,),············· 9分 则d= ∴点E到面O1BC的距离等于.···················· 12分 |