在三棱锥中,是边长为的正三角形,平面平面,,、分别为、的中点,(1)证明:;(2)求二面角的大小;(3)求点到平面的距离.
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在三棱锥中,是边长为的正三角形,平面平面,,、分别为、的中点,(1)证明:;(2)求二面角的大小;(3)求点到平面的距离.
题型:不详
难度:
来源:
在三棱锥
中,
是边长为
的正三角形,平面
平面
,
,
、
分别为
、
的中点,
(1)证明:
;
(2)求二面角
的大小;
(3)求点
到平面
的距离.
答案
arctan2
,
解析
.解:(Ⅰ)取AC中点D,连结SD、DB.
∵SA=SC,AB=BC,∴AC⊥SD且AC⊥BD,∴AC⊥平面SDB,又SB
平面SDB,
∴AC⊥SB.
(Ⅱ)∵AC⊥平面SDB,AC
平面ABC,∴平面SDB⊥平面ABC.
过N作NE⊥BD于E,NE⊥平面ABC,
过E作EF⊥CM于F,连结NF,
则NF⊥CM.
∴∠NFE为二面角N-CM-B的平面角.
∵平面SAC⊥平面ABC,SD⊥AC,∴SD⊥平面ABC.
又∵NE⊥平面ABC,∴NE∥SD.
∵SN=NB,∴NE=
SD=
=
=
,且ED=EB.
在正△ABC中,由平几知识可求得EF=
MB=
,在Rt△NEF中,tan∠NFE=
=2
,∴二面角N—CM—B的大小是arctan2
(Ⅲ)在Rt△NEF中,NF=
=
,
∴S△CMN=
CM·NF=
,S△CMB=
BM·CM=2
.
设点B到平面CMN的距离为h,
∵VB-CMN=VN-CMB,NE⊥平面CMB,∴
S△CMN·h=
S△CMB·NE,
∴h=
=
.即点B到平面CMN的距离为
举一反三
四面体ABCD中,有如下命题:①若AC⊥BD,AB⊥CD,则AD⊥BC;
②若E、F、G分别是BC、AB、CD的中点,则∠FEG的大小等于异面直线AC与BD所成角的大小;
③若四面体ABCD有内切球,则
④若四个面是全等的三角形,则ABCD为正四面体。
其中正确的是
:
(填上所有正确命题的序号)
题型:不详
难度:
|
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(本题满分12分)四棱锥P—ABCD中,底面ABCD是正方形,侧面PAD是边长为2的正三角形,且侧面PAD与底面ABCD垂直,E为PD的中点。
(1) 求证:PB//面ACE;
(2) 求二面角E—AC—D的大小。
题型:不详
难度:
|
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下面四个命题:
①在空间中,过直线外一点只能作一条直线与该直线平行;
②“直线
⊥平面
内所有直线”的充要条件是“
⊥平面
”;
③“平面
∥平面
”的必要不充分条件是“
内存在不共线三点到
的距离相等”;
④若
是异面直线,
则
至少与
中的一条相交.
其中正确命题的个数有 ( )
A.1
B.2
C.3
D.4
题型:不详
难度:
|
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三棱锥
中,
,
,
,
,若
四点在同一个球面上,则在球面上
两点之间的球面距离是_____ .
题型:不详
难度:
|
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(本题满分12分)在直三棱柱
中,
,直线
与平面
成
角;
(1)求证:平面
平面
;
(2)求二面角
的正弦值.
题型:不详
难度:
|
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冠词
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极坐标与直角坐标
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