证明:(Ⅰ)设的交点为O,连接,连接.
因为为的中点,为的中点, 所以∥且.又是中点, 所以 ∥且, 所以 ∥且. 所以,四边形为平行四边形.所以∥. 又平面,平面,则∥平面. ………………5分 (Ⅱ)因为三棱柱各侧面都是正方形,所以,. 所以平面. 因为平面,所以. 由已知得,所以, 所以平面. 由(Ⅰ)可知∥,所以平面. 所以. 因为侧面是正方形,所以. 又,平面,平面, 所以平面. ………………………………………10分 (Ⅲ)解: 取中点,连接. 在三棱柱中,因为平面, 所以侧面底面. 因为底面是正三角形,且是中点, 所以,所以侧面. 所以是在平面上的射影. 所以是与平面所成角. . …………………………………………14分 解法二:如图所示,建立空间直角坐标系. 设边长为2,可求得,, ,,,, ,,. (Ⅰ)易得,, . 所以,所以∥. 又平面,平面,则∥平面. ………………5分 (Ⅱ)易得,,, 所以. 所以 又因为,, 所以平面. …………………………………………… 10分 (Ⅲ)设侧面的法向量为, 因为, ,,, 所以,. 由 得解得 不妨令,设直线与平面所成角为. 所以. 所以直线与平面所成角的正弦值为.………………………14分 |