方法一 :由三视图可知几何体是底面以为直角,侧棱垂直底面的三棱台, ---------2分
(I)证明 ∵A1A⊥平面ABC,BC平面ABC, ∴A1A⊥BC. 在Rt△ABC中,AB=,AC=2,∴BC=. ∵BD∶DC=1∶2,∴BD=.又==, ∴△DBA∽△ABC,∴∠ADB=∠BAC=90°, 即AD⊥BC. 又A1A∩AD=A,∴BC⊥平面A1AD. ∵BC平面BCC1B1,∴平面A1AD⊥平面BCC1B1. --------7分 (II)解 如图①,作AE⊥C1C交C1C于E点,连接BE,由已知得AB⊥平面ACC1A1, ∴AE是BE在平面ACC1A1内的射影. 由三垂线定理知BE⊥CC1, ∴∠AEB为二面角A—CC1—B的平面角. 图① 过C1作C1F⊥AC交AC于F点, 则CF=AC-AF=1, C1F=A1A=,∴∠C1CF=60°. 在Rt△AEC中, AE=ACsin60°=2×=, 在Rt△BAE中,tan∠AEB===, ∴cos∠AEB=, 即二面角A—CC1—B余弦值为 -------12分 方法二 (I) 证明 如图②,建立空间直角坐标系, 则A(0,0,0),B(,0,0),C(0,2,0), A1(0,0,),C1(0,1, ). ∵BD∶DC=1∶2,∴=, ∴D点坐标为, ∴=, =(-,2,0),=(0,0,). ∵·=0,·=0, ∴BC⊥AA1,BC⊥AD.又A1A∩AD=A, ∴BC⊥平面A1AD.又BC平面BCC1B1, ∴平面A1AD⊥平面BCC1B1. (II)解 ∵BA⊥平面ACC1A1,取m==(,0,0)为平面ACC1A1的法向量. 设平面BCC1B1的法向量为n=(x,y,z), 则·n=0,·n=0, ∴ ∴x=y,z=,可取y=1,则n=, cos〈m,n〉= =, 即二面角A—CC1—B的余弦值为. |