①证明: ∵平面ACEF⊥平面ABCD,EC⊥AC, ∴EC⊥平面ABCD;连接BD交AC于点O,连接FO, ∵正方形ABCD的边长为 ,∴AC=BD=2; 在直角梯形ACEF中,∵EF=EC=1,O为AC中点, ∴FO∥EC,且FO=1;易求得DF=BF= , DE=BE= ,由勾股定理知 DF⊥EF,BF⊥EF, ∴∠BFD是二面角B-EF-D的平面角,
由BF=DF= ,BD=2可知∠BFD= , ∴平面BEF⊥平面DEF ………………(6分) ⑵取BF中点M,BE中点N,连接AM、MN、AN, ∵AB=BF=AF= ,∴AM⊥BF, 又∵MN∥EF,EF⊥BF,∴MN⊥BF, ∴∠AMN就是二面角A-BF-E的平面角。 易求得 , ; 在Rt△ 中,可求得 ,
∴在△ 中,由余弦定理求得 , ∴ ……………………………(12分) 解法2:⑴∵平面ACEF⊥平面ABCD,EC⊥AC,∴EC⊥平面ABCD; 建立如图所示的空间直角坐标系C-xyz,则![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191021/20191021035451-32948.gif)
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191021/20191021035452-84089.gif) , , , , ∴ , , …(2分) 设平面BEF、平面DEF的法向量分别为
,则
①
②, ③, ④. 由①③③④解得 ,∴ ,…(4分) ∴ ,∴ ,故平面BEF⊥平面DEF…………(6分) ⑵设平面ABF的法向量为 ,∵ ,![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191021/20191021035455-80898.gif) ∴ , ,解得![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191021/20191021035456-15176.gif) ∴ ,………(8分)∴ ……(10分) 由图知,二面角A-BF-E的平面角是钝角,故所求二面角的大小为![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191021/20191021035449-82944.gif) |