①证明: ∵平面ACEF⊥平面ABCD,EC⊥AC, ∴EC⊥平面ABCD;连接BD交AC于点O,连接FO, ∵正方形ABCD的边长为,∴AC=BD=2; 在直角梯形ACEF中,∵EF=EC=1,O为AC中点, ∴FO∥EC,且FO=1;易求得DF=BF=, DE=BE=,由勾股定理知 DF⊥EF,BF⊥EF, ∴∠BFD是二面角B-EF-D的平面角, 由BF=DF=,BD=2可知∠BFD=, ∴平面BEF⊥平面DEF ………………(6分) ⑵取BF中点M,BE中点N,连接AM、MN、AN, ∵AB=BF=AF=,∴AM⊥BF, 又∵MN∥EF,EF⊥BF,∴MN⊥BF, ∴∠AMN就是二面角A-BF-E的平面角。 易求得,; 在Rt△中,可求得, ∴在△中,由余弦定理求得, ∴ ……………………………(12分) 解法2:⑴∵平面ACEF⊥平面ABCD,EC⊥AC,∴EC⊥平面ABCD; 建立如图所示的空间直角坐标系C-xyz,则 ,,,, ∴,,…(2分) 设平面BEF、平面DEF的法向量分别为 ,则 ① ②, ③, ④. 由①③③④解得,∴,…(4分) ∴,∴,故平面BEF⊥平面DEF…………(6分) ⑵设平面ABF的法向量为,∵, ∴,,解得 ∴,………(8分)∴……(10分) 由图知,二面角A-BF-E的平面角是钝角,故所求二面角的大小为 |