法一:(1)证明:连结OC,∵ABD为等边三角形,O为BD的中点,∴AO垂直BD。(1分)∴ AO=CO=。……(2分)在AOC中,AC=,∴AO2+CO2=AC2, ∴∠AOC=900,即AO⊥OC。∴BDOC=O,∴AO⊥平面BCD。……(3分) (2)过O作OE垂直BC于E,连结AE,∵AO⊥平面BCD,∴AE在平面BCD上的射影为OE。 ∴AE⊥BC。∠AEO为二面角A—BC—D的平面角。……(7分) 在RtAEO中,AO=,OE=,∠,∴∠AEO=arctan2。 二面角A—BC—D的大小为arctan2。 (3)设点O到面ACD的距离为∵VO-ACD=VA-OCD,∴。 在ACD中,AD=CD=2,AC=,。 而AO=,,∴。 ∴点O到平面ACD的距离为。…(13分) 解法二:(1)同解法一。 (2)以O为原点,如图建立空间直角坐标系, 则O(0,0,0),A(0,0,),B(1,0,0),C(0,,0),D(-1,0,0) ∵AO⊥平面DCD, ∴平面BCD的法向量=(0,0,)。…(5分) 设平面ABC的法向量, , 由。设与夹角为, 则。∴二面角A—BC—D的大小为arccos。………(8分) (3)解:设平面ACD的法向量为又 。……(11分) 设与夹角为,则设O到平面ACD的距离为, ∵,∴O到平面ACD的距离为。(13分) |