在平面直角坐标系中,已知点和,圆是以为圆心,半径为的圆,点是圆上任意一点,线段的垂直平分线和半径所在的直线交于点.(1)当点在圆上运动时,求点的轨迹方程;(2)
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在平面直角坐标系中,已知点和,圆是以为圆心,半径为的圆,点是圆上任意一点,线段的垂直平分线和半径所在的直线交于点.(1)当点在圆上运动时,求点的轨迹方程;(2)
题型:不详
难度:
来源:
在平面直角坐标系中,已知点
和
,圆
是以
为圆心,半径为
的圆,点
是圆
上任意一点,线段
的垂直平分线
和半径
所在的直线交于点
.
(1)当点
在圆上运动时,求点
的轨迹方程
;
(2)已知
,
是曲线
上的两点,若曲线
上存在点
,满足
(
为坐标原点),求实数
的取值范围.
答案
(1)
;(2)
.
解析
试题分析:(1)由题意知知|QF|=|QP|,所以|QE|+|QF|=|QE|+|QP|=|EP|=
>|EF|=2,由椭圆定义法知,Q点的轨迹是以E,F为焦点实轴长
的椭圆,求出
,写出点Q的轨迹方程;(2)设出M、N点坐标和直线MN方程,代入曲线T的方程,整理成关于x的二次方程,利用根与系数关系将
,
用参数表示出来,利用判别式大于0列出关于参数的不等式,再利用题中的向量条件用参数把P点坐标表示出来,代入曲线T的方程,得出关于参数的等式,代入判别式得到关于
的不等式,求出
的范围.
试题解析:(1)点
在线段
的垂直平分线上,则
,又
,
则
,故可得点
的轨迹方程
为
.
(2)令经过点
的直线为
,则
的斜率存在,设直线
的方程为
,
将其代入椭圆方程整理可得
设
,则
,故
(1)当
时,点
关于原点对称,则
(2)当
时,点
不关于原点对称,则
由
,得
,故
则
,因为
在椭圆上,故
化简,得
,又
,故得
①
又
,得
②
联立①②两式及
,得
,故
且
综上(1)(2)两种情况,得实数
的取值范围是
.
举一反三
如图,椭圆
经过点
,其左、右顶点分别是
、
,左、右焦点分别是
、
,
(异于
、
)是椭圆上的动点,连接
交直线
于
、
两点,若
成等比数列.
(1)求此椭圆的离心率;
(2)求证:以线段
为直径的圆过点
.
题型:不详
难度:
|
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已知离心率为
的双曲线和离心率为
的椭圆有相同的焦点
、
,
是两曲线的一个公共点,若
,则
等于( )
A.
B.
C.
D.
题型:不详
难度:
|
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已知椭圆
的方程为
,其中
.
(1)求椭圆
形状最圆时的方程;
(2)若椭圆
最圆时任意两条互相垂直的切线相交于点
,证明:点
在一个定圆上.
题型:不详
难度:
|
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如图,已知点
为椭圆
右焦点,圆
与椭圆
的一个公共点为
,且直线
与圆
相切于点
.
(1)求
的值及椭圆
的标准方程;
(2)设动点
满足
,其中M、N是椭圆
上的点,
为原点,直线OM与ON的斜率之积为
,求证:
为定值.
题型:不详
难度:
|
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如图所示,已知
A
、
B
、
C
是长轴长为4的椭圆E上的三点,点
A
是长轴的一个端点,
BC
过椭圆中心
O
,且
,|
BC
|=2|
AC
|.
(1)求椭圆E的方程;
(2)在椭圆E上是否存点Q,使得
?若存在,有几个(不必求出Q点的坐标),若不存在,请说明理由.
(3)过椭圆E上异于其顶点的任一点P,作
的两条切线,切点分别为M、N,若直线MN在x轴、y轴上的截距分别为m、n,证明:
为定值.
题型:不详
难度:
|
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