如图,椭圆经过点,其左、右顶点分别是、,左、右焦点分别是、,(异于、)是椭圆上的动点,连接交直线于、两点,若成等比数列.(1)求此椭圆的离心率;(2)求证:以线
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如图,椭圆经过点,其左、右顶点分别是、,左、右焦点分别是、,(异于、)是椭圆上的动点,连接交直线于、两点,若成等比数列.(1)求此椭圆的离心率;(2)求证:以线
题型:不详
难度:
来源:
如图,椭圆
经过点
,其左、右顶点分别是
、
,左、右焦点分别是
、
,
(异于
、
)是椭圆上的动点,连接
交直线
于
、
两点,若
成等比数列.
(1)求此椭圆的离心率;
(2)求证:以线段
为直径的圆过点
.
答案
(1)
(2)见解析
解析
试题分析:(1)由椭圆的几何意义知
,
,
,由
等比数列知,
,即
,两边同除以
化为关于离心率
的方程,求出离心率;(2)设出P点坐标,利用直线两点式方程写出直线PA,PB方程,通过解PA与
及PB与
方程分别组成的方程组,解出点M,N的坐标,再通过计算向量法
=0,证明
,证明
为直径的圆过点
.
试题解析:(1)由题意可知,
成等比数列,所以
(2)由
,椭圆经过
点可知,椭圆方程为
设
,由题意可知
解得
,则
故以线段
为直径的圆过点
.
举一反三
已知离心率为
的双曲线和离心率为
的椭圆有相同的焦点
、
,
是两曲线的一个公共点,若
,则
等于( )
A.
B.
C.
D.
题型:不详
难度:
|
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已知椭圆
的方程为
,其中
.
(1)求椭圆
形状最圆时的方程;
(2)若椭圆
最圆时任意两条互相垂直的切线相交于点
,证明:点
在一个定圆上.
题型:不详
难度:
|
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如图,已知点
为椭圆
右焦点,圆
与椭圆
的一个公共点为
,且直线
与圆
相切于点
.
(1)求
的值及椭圆
的标准方程;
(2)设动点
满足
,其中M、N是椭圆
上的点,
为原点,直线OM与ON的斜率之积为
,求证:
为定值.
题型:不详
难度:
|
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如图所示,已知
A
、
B
、
C
是长轴长为4的椭圆E上的三点,点
A
是长轴的一个端点,
BC
过椭圆中心
O
,且
,|
BC
|=2|
AC
|.
(1)求椭圆E的方程;
(2)在椭圆E上是否存点Q,使得
?若存在,有几个(不必求出Q点的坐标),若不存在,请说明理由.
(3)过椭圆E上异于其顶点的任一点P,作
的两条切线,切点分别为M、N,若直线MN在x轴、y轴上的截距分别为m、n,证明:
为定值.
题型:不详
难度:
|
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已知椭圆
(
)的短轴长为2,离心率为
.过点M(2,0)的直线
与椭圆
相交于
、
两点,
为坐标原点.
(1)求椭圆
的方程;
(2)求
的取值范围;
(3)若
点关于
轴的对称点是
,证明:直线
恒过一定点.
题型:不详
难度:
|
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