如图所示,已知A、B、C是长轴长为4的椭圆E上的三点,点A是长轴的一个端点,BC过椭圆中心O,且,|BC|=2|AC|.(1)求椭圆E的方程;(2)在椭圆E上是
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如图所示,已知A、B、C是长轴长为4的椭圆E上的三点,点A是长轴的一个端点,BC过椭圆中心O,且,|BC|=2|AC|.(1)求椭圆E的方程;(2)在椭圆E上是
题型:不详
难度:
来源:
如图所示,已知
A
、
B
、
C
是长轴长为4的椭圆E上的三点,点
A
是长轴的一个端点,
BC
过椭圆中心
O
,且
,|
BC
|=2|
AC
|.
(1)求椭圆E的方程;
(2)在椭圆E上是否存点Q,使得
?若存在,有几个(不必求出Q点的坐标),若不存在,请说明理由.
(3)过椭圆E上异于其顶点的任一点P,作
的两条切线,切点分别为M、N,若直线MN在x轴、y轴上的截距分别为m、n,证明:
为定值.
答案
(1)
;(2)满足条件的点Q存在,且有两个.
解析
试题分析:本题主要考查椭圆的标准方程及其性质,考查学生的转化思想和数形结合思想,考查分析问题解决问题的能力和计算能力.第一问,先由长轴长得到a的值,设出椭圆的标准方程,利用已知条件数形结合得到C点坐标,将C点坐标代入到椭圆中,得到b的值,从而得到椭圆的标准方程;第二问,先设出Q点坐标,利用已知等式计算,可知点Q在直线
上,点
在直线上,而在椭圆内部,数形结合得存在点Q而且存在2个;法二:用
和椭圆方程联立消参,得到关于x的方程,看方程的判别式,判别式大于0时,方程有2个根,则直线与椭圆有2个交点;第三问,设出点P的坐标,由切线的性质得四点共圆,此圆的圆心为
,直径为OP,得到此圆的方程,M、N既在此圆上,又在圆O上,2个方程联立,解出直线MN的方程,得出截距的值,再转化出P点坐标代入到椭圆中即可;法二:设出点P、M、N的坐标,利用直线的垂直关系,利用斜率列出等式,转化成直线PM和直线PN的方程,从而得到直线MN的方程.
试题解析:(1)依题意知:椭圆的长半轴长
,则
A
(2,0),
设椭圆E的方程为
2分
由椭圆的对称性知|
OC
|=|
OB
|又∵
,|
BC
|=2|
AC
|
∴
AC
⊥
BC
,
|
OC
|=|
AC
|∴△
AOC
为等腰直角三角形,
∴点
C
的坐标为(1,1),点
B
的坐标为(-1,-1), 4分
将
C
的坐标(1,1)代入椭圆方程得
∴所求的椭圆E的方程为
5分
(2)解法一:设在椭圆E上存在点Q,使得
,设
,则
即点Q在直线
上, 7分
∴点Q即直线
与椭圆E的交点,
∵直线
过点
,而点椭圆
在椭圆E的内部,
∴满足条件的点Q存在,且有两个. 9分
解法二:设在椭圆E上存在点Q,使得
,设
,则
即
, ① -7分
又∵点Q在椭圆E上,∴
, ②
由①式得
代入②式并整理得:
, -③
∵方程③的根判别式
,
∴方程③有两个不相等的实数根,即满足条件的点Q存在,且有两个. 9分
(3)解法一:
设点
,由M、N是
的切点知,
,
∴O、M、P、N四点在同一圆上, 10分
且圆的直径为OP,则圆心为
,
其方程为
, 11分
即
-④
即点M、N满足方程④,又点M、N都在
上,
∴M、N坐标也满足方程
-⑤
⑤-④得直线MN的方程为
, 12分
令
得
,令
得
, 13分
∴
,又点P在椭圆E上,
∴
,即
=定值. 14分
解法二:设点
则
10分
直线PM的方程为
化简得
④
同理可得直线PN的方程为
-⑤ 11分
把P点的坐标代入④、⑤得
∴直线MN的方程为
, 12分
令
得
,令
得
, 13分
∴
,又点P在椭圆E上,
∴
,即
=定值. -14分
举一反三
已知椭圆
(
)的短轴长为2,离心率为
.过点M(2,0)的直线
与椭圆
相交于
、
两点,
为坐标原点.
(1)求椭圆
的方程;
(2)求
的取值范围;
(3)若
点关于
轴的对称点是
,证明:直线
恒过一定点.
题型:不详
难度:
|
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已知椭圆
的右焦点为
F
,
A
为短轴的一个端点,且
,
的面积为1(其中
为坐标原点).
(1)求椭圆的方程;
(2)若
C
、
D
分别是椭圆长轴的左、右端点,动点
M
满足
,连结
CM
,交椭圆于点
,证明:
为定值;
(3)在(2)的条件下,试问
轴上是否存在异于点
C
的定点
Q
,使得以
MP
为直径的圆恒过直线
DP
、
MQ
的交点,若存在,求出点
Q
的坐标;若不存在,说明理由.
题型:不详
难度:
|
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椭圆
的方程为
,离心率为
,且短轴一端点和两焦点构成的三角形面积为1,抛物线
的方程为
,抛物线的焦点F与椭圆的一个顶点重合.
(1)求椭圆
和抛物线
的方程;
(2)过点F的直线交抛物线
于不同两点A,B,交y轴于点N,已知
的值.
(3)直线
交椭圆
于不同两点P,Q,P,Q在x轴上的射影分别为P′,Q′,满足
(O为原点),若点S满足
,判定点S是否在椭圆
上,并说明理由.
题型:不详
难度:
|
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如图,椭圆的右焦点
与抛物线
的焦点重合,过
且于x轴垂直的直线与椭圆交于S,T,与抛物线交于C,D两点,且
(1)求椭圆的标准方程;
(2)设P为椭圆上一点,若过点M(2,0)的直线
与椭圆相交于不同两点A和B,且满足
(O为坐标原点),求实数t的取值范围.
题型:不详
难度:
|
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已知
是椭圆
,
上除顶点外的一点,
是椭圆的左焦点,若
则点
到该椭圆左焦点的距离为( )
A.
B.
C.
D.
题型:不详
难度:
|
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