如图，已知点为椭圆右焦点，圆与椭圆的一个公共点为，且直线与圆相切于点.（1）求的值及椭圆的标准方程；（2）设动点满足，其中M、N是椭圆上的点，为原点，直线OM与

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如图，已知点为椭圆右焦点，圆与椭圆的一个公共点为，且直线与圆相切于点.（1）求的值及椭圆的标准方程；（2）设动点满足，其中M、N是椭圆上的点，为原点，直线OM与

题型：不详难度：来源：
如图，已知点为椭圆右焦点，圆与椭圆的一个公共点为，且直线与圆相切于点.

（1）求的值及椭圆的标准方程；
（2）设动点满足，其中M、N是椭圆上的点，为原点，直线OM与ON的斜率之积为，求证：为定值.
答案
（1）；（2）证明过程详见解析.
解析

试题分析：本题主要考查椭圆的标准方程以及几何性质等基础知识，考查学生分析问题解决问题的能力和计算能力.第一问，由椭圆C过点（0,1）点，所以得到，由，得，在直角三角形AFB中，利用勾股定理求参数a，c的值，从而得到椭圆的标准方程；第二问，设出点M，N，P的坐标，代入到中，得到与、的关系，得到与、的关系，又由于点M，N在椭圆上，代入椭圆方程中，得到关系式，都代入到所求的式子中，化简得到定值.
试题解析：（1）由题意可知，又.又 .   2分
在中，，
故椭圆的标准方程为：            6分
（2）设
∵M、N在椭圆上，∴
又直线OM与ON的斜率之积为，∴，
于是
.故为定值.    13分
举一反三
如图所示，已知A、B、C是长轴长为4的椭圆E上的三点，点A是长轴的一个端点，BC过椭圆中心O，且，|BC|＝2|AC|．

(1)求椭圆E的方程；
(2)在椭圆E上是否存点Q，使得？若存在，有几个（不必求出Q点的坐标），若不存在，请说明理由．
（3）过椭圆E上异于其顶点的任一点P，作的两条切线，切点分别为M、N，若直线MN在x轴、y轴上的截距分别为m、n，证明：为定值．
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已知椭圆()的短轴长为2，离心率为．过点M（2,0）的直线与椭圆相交于、两点,为坐标原点.
（1）求椭圆的方程；
（2）求的取值范围；
（3）若点关于轴的对称点是，证明：直线恒过一定点.
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已知椭圆的右焦点为F，A为短轴的一个端点，且，的面积为1（其中为坐标原点）.
（1）求椭圆的方程；
（2）若C、D分别是椭圆长轴的左、右端点，动点M满足，连结CM，交椭圆于点，证明：为定值；
（3）在（2）的条件下，试问轴上是否存在异于点C的定点Q，使得以MP为直径的圆恒过直线DP、MQ的交点，若存在，求出点Q的坐标；若不存在，说明理由.
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椭圆的方程为，离心率为，且短轴一端点和两焦点构成的三角形面积为1，抛物线的方程为，抛物线的焦点F与椭圆的一个顶点重合.
（1）求椭圆和抛物线的方程；
（2）过点F的直线交抛物线于不同两点A,B，交y轴于点N，已知的值.
（3）直线交椭圆于不同两点P,Q，P,Q在x轴上的射影分别为P′,Q′，满足(O为原点)，若点S满足，判定点S是否在椭圆上，并说明理由.
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如图，椭圆的右焦点与抛物线的焦点重合，过且于x轴垂直的直线与椭圆交于S,T，与抛物线交于C，D两点，且

（1）求椭圆的标准方程；
（2）设P为椭圆上一点，若过点M(2,0)的直线与椭圆相交于不同两点A和B，且满足（O为坐标原点），求实数t的取值范围.
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