由题意,Ea⊥平面ABC , DC⊥平面ABC ,AE∥DC,ae="2," dc="4" ,ab⊥ac, 且AB=AC=2 (Ⅰ)∵Ea⊥平面ABC,∴ea⊥ab, 又ab⊥ac, ∴ab⊥平面acde ∴四棱锥b-acde的高h=ab=2,梯形acde的面积S= 6 ∴,即所求几何体的体积为4 ………………………………4分 (Ⅱ)证明:∵m为db的中点,取bc中点G,连接em,mG,aG, ∴ mG∥DC,且 ∴ mG ae,∴四边形aGme为平行四边形, ∴em∥aG,又AG平面ABC ∴EM∥平面ABC. ……………………………………8分
(Ⅲ)解法1:由(Ⅱ)知,em∥aG, 又∵平面BCD⊥底面ABC,aG⊥bc,∴AG⊥平面BCD ∴EM⊥平面BCD,又∵EM平面BDE, ∴平面BDE⊥平面BCD 在平面BCD中,过M作MN⊥DB交DC于点N, ∴MN⊥平面BDE 点n即为所求的点 ∽ ∴边DC上存在点N,满足DN=DC时,有NM⊥平面BDE. 解法2:以A为原点,建立如图所示的空间直角坐标系, 则 A(0,0,0),B(0,2,0),C(-2,0,0) D(-2,0,4),E(0,0,2),M(-1,1,2),
(2,2,-4),(2,0,-2), (0,0,-4),(1,1,-2). 假设在DC边上存在点N满足题意,
∴边DC上存在点N,满足DN=DC时,NM⊥平面BDE.……………………12分 |