已知一四棱锥P-ABCD的三视图如下,E是侧棱PC上的动点。(Ⅰ)求四棱锥P-ABCD的体积;(Ⅱ)是否不论点E在何位置,都有BD⊥AE?证明你的结论;

已知一四棱锥P-ABCD的三视图如下,E是侧棱PC上的动点。(Ⅰ)求四棱锥P-ABCD的体积;(Ⅱ)是否不论点E在何位置,都有BD⊥AE?证明你的结论;

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已知一四棱锥P-ABCD的三视图如下,E是侧棱PC上的动点。
(Ⅰ)求四棱锥P-ABCD的体积;
(Ⅱ)是否不论点E在何位置,都有BD⊥AE?证明你的结论;
答案
(1)(2)见解析
解析
(Ⅰ)由该四棱锥的三视图可知,该四棱锥P-ABCD的底面是边长为1的正方形,
侧棱PC⊥底面ABCD,且PC="2." ---------------------------------3分
----------------------------7分
(Ⅱ)不论点E在何位置,都有BD⊥AE---------------------------------------8分
证明如下:连结AC,∵ABCD是正方形       ∴BD⊥AC
∵PC⊥底面ABCD 且平面 ∴BD⊥PC-----------11分
又∵∴BD⊥平面PAC 
∵不论点E在何位置,都有AE平面PAC 
∴不论点E在何位置,都有BD⊥AE ----------------------------------------------14分
举一反三
(本小题满分13分)如图,四面体中,的中点,.(Ⅰ)求证:平面;(Ⅱ)求异面直线所成角的大小;

(Ⅲ)求二面角的大小.
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根据给出的空间几何体的三视图,用斜二侧画法画出它的直观图.

正视图             侧视图           俯视图
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已知四边形为菱形,,两个正三棱锥(底面是正三角形且顶点在底面上的射影是底面正三角形的中心)的侧棱长都相等,点分别在上,且.
(Ⅰ)求证:;
(Ⅱ)求平面与底面所成锐二面角的平面角的正切值;
(Ⅲ)求多面体的体积.

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(本小题满分13分)
如图,已知正方形ABCD和梯形ACEF所在的平面互相垂直,
,CE//AF,
(I)求证:CM//平面BDF;
(II)求异面直线CM与FD所成角的大小;
(III)求二面角A—DF—B的大小。
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(本小题满分13分)如图,已知平行四边形和矩形所在的平面互相垂直,是线段的中点.

(1)求证:;(2)求二面角的大小;
(3)设点为一动点,若点出发,沿棱按照
的路线运动到点,求这一过程中形成的三棱锥的体积的最小值.
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