已知四棱锥(如图)底面是边长为2的正方形.侧棱底面,、分别为、的中点,于。(Ⅰ)求证:平面⊥平面;(Ⅱ)直线与平面所成角的正弦值为,求PA的长;(Ⅲ)在条件(Ⅱ
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已知四棱锥(如图)底面是边长为2的正方形.侧棱底面,、分别为、的中点,于。(Ⅰ)求证:平面⊥平面;(Ⅱ)直线与平面所成角的正弦值为,求PA的长;(Ⅲ)在条件(Ⅱ
题型:不详
难度:
来源:
已知四棱锥
(如图)底面是边长为2的正方形.侧棱
底面
,
、
分别为
、
的中点,
于
。
(Ⅰ)求证:平面
⊥平面
;
(Ⅱ)直线
与平面
所成角的正弦值为
,求PA的长;
(Ⅲ)在条件(Ⅱ)下,求二面角
的余弦值。
答案
(1)证明见解析(2)2 (3)
解析
(Ⅰ)证明:∵PA⊥底面ABCD,MN
底面ABCD
∴MN⊥PA 又MN⊥AD 且PA∩AD=A
∴MN⊥平面PAD ………………3分
MN
平面PMN ∴平面PMN⊥平面PAD …………4分
(Ⅱ)∵BC⊥BA BC⊥PA PA∩BA="A " ∴BC⊥平面PBA
∴∠BPC为直线PC与平面PBA所成的角
即
…………7分
在Rt△PBC中,PC=BC/sin∠BPC=
∴
………………10分
(Ⅲ)由(Ⅰ)MN⊥平面PAD知 PM⊥MN MQ⊥MN
∴∠PMQ即为二面角P—MN—Q的平面角 …………12分
而
∴
…………14分
举一反三
如图,平面ACB⊥平面BCD,∠CAB=∠CBD=90
0
, ∠BDC=60
0
,BC=6,AB=AC.
(Ⅰ)求证:平面ABD⊥平面ACD;(Ⅱ)求二面角A—CD—B的平面角的正切值;
(Ⅲ)设过直线AD且与BC平行的平面为
,求点B到平面
的距离。
题型:不详
难度:
|
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如图,已知正三棱柱
中,
,
,点
、
、
分别在棱
、
、
上,且
.
(Ⅰ)求平面
与平面
所成锐二面角的大小;
(Ⅱ)求点
到平面
的距离.
题型:不详
难度:
|
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已知某几何体的三视图如下图所示,其中左视图是边长为2的正三角形,主视图是矩形且
,俯视图中
分别是所在边的中点,设
为
的中点.
(1)求其体积;(2)求证:
;
(3)
边上是否存在点
,使
?若不存在,说明理由;若存在,请证明你的结论.
题型:不详
难度:
|
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如图是某直三棱柱(侧棱与底面垂直)被削去上底后的直观图与三视图的侧视图、俯视图.在直观图中,
是
的中点.侧视图是直角梯形,俯视图是等腰直角
三角形,有关数据如图所示.
(Ⅰ)求出该几何体的体积;
(Ⅱ)求证:
EM
∥平面
ABC
;
(Ⅲ) 试问在棱
DC
上是否存在点N,使NM⊥平面
?若存在,确定点N的位置;
若不存在,请说明理由.
题型:不详
难度:
|
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一个简单多面体的直观图和三视图如图所示,它的主视图和侧视图都是腰长为1的等腰直角三角形,俯视图为正方形,E是PD的中点.
(1)求证:
;
(2)求证:
;
(3)求三棱锥
的体积.
题型:不详
难度:
|
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