如图,四棱锥的底面是正方形,平面.,,是上的点.(Ⅰ)求证:;(Ⅱ)求二面角的余弦值.
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如图,四棱锥的底面是正方形,平面.,,是上的点.(Ⅰ)求证:;(Ⅱ)求二面角的余弦值.
题型:不详
难度:
来源:
如图,四棱锥
的底面是正方形,
平面
.
,
,
是
上的点.
(Ⅰ)求证:
;
(Ⅱ)求二面角
的余弦值.
答案
(Ⅰ)见解析 (Ⅱ)
解析
(Ⅰ)证明:连结
.
因为底面
是正方形,
所以
.
因为
平面
,
平面
,
所以
.……………………………………………………………………3分
又因为
,
所以
平面
.……………………5分
因为
平面
,
所以
.…………………………7分
(Ⅱ)因为
平面
,
所以
.
因为底面
是正方形,
所以
.
又因为
,
所以
平面
,所以
.…………………………………………10分
过点
在平面
内作
于
,连结
.
由于
,
所以
平面
.
所以
.
故
是二面角
的平面角.………………………………………12分
在
中,
,
,可求得
.
在
中,
,
,可求得
.
所以
.
即二面角
的余弦值为
.…………………………………………14分
解法(二)(Ⅰ)如图以
为原点建立空间直角坐标系
.
则
,
,
,
,
,
,
,
.…………………3分
.
所以
.即
.…………………………………………………………7分
(Ⅱ)由(Ⅰ)得
,
.
设平面
的法向量为
,则由
,
,得
即
取
,得
.……………………………………………………………11分
易知平面
的一个法向量为
.
设二面角
的平面角为
.
则
.
即二面角
的余弦值为
.
举一反三
如图,已知三棱柱ABC-A
1
B
1
C
1
的所有棱长都相等,且侧棱垂直于底面,由
B沿棱柱侧面经过棱C C
1
到点A
1
的最短路线长为
,设这条最短路线与CC
1
的交
点为D.
(1)求三棱柱ABC-A
1
B
1
C
1
的体积;
(2)在平面A
1
BD内是否存在过点D的直线与平面ABC平行?证明你的判断;
(3)证明:平面A
1
BD⊥平面A
1
ABB
1
.
题型:不详
难度:
|
查看答案
在四棱锥
中,
,
,
底面
,
,直线
与底面
成
角,点
分别是
的中点.
(1)求二面角
的大小;
(2)当
的值为多少时,
为直角三角形.
题型:不详
难度:
|
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一个长方体共一顶点的三个面的面积分别是
,这个长方体对角线的长是( )
题型:不详
难度:
|
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一条直线与一个平面垂直,那么,称此直线与平面构成一个“正交线面对”。在一个正方体中,由两个顶点确定的直线与顶点组成的平面(相同的平面算一个)构成的“正交线面对”的个数是
A.24
B.36
C.44
D.56
题型:不详
难度:
|
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如图,在四棱锥
中,底面
是正方形,
底面
,
, 点
是
的中点,
,且交
于点
.
(I)求证:
平面
;
(II)求二面角
的余弦值大小;
(III)求证:平面
⊥平面
.
题型:不详
难度:
|
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