如图,A是棱长为a的正方体的一个顶点,过从此顶点出发的三条棱的中点作截面,对正方体的所有顶点都如此操作,所得的各截面与正方体各面共同围成一个多面体,则关于此多面
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如图,A是棱长为a的正方体的一个顶点,过从此顶点出发的三条棱的中点作截面,对正方体的所有顶点都如此操作,所得的各截面与正方体各面共同围成一个多面体,则关于此多面
题型:不详
难度:
来源:
如图,A是棱长为a的正方体的一个顶点,过从此顶点出发的三条棱的中点作截面,对正方体的所有顶点都如此操作,所得的各截面与正方体各面共同围成一个多面体,则关于此多面体有以下结论:①有12个顶点;②有24条棱;③有12个面;④表面积为3a
2
;⑤体积为
5
6
a
3
.其中正确的结论是______.(要求填上所有正确结论的序号)
答案
如图,
原来的六个面还在只不过是变成了一个小正方形,再添了八个顶点各对应的一个三角形的面,所以总计6+8=14个面,故③错;
每个正方形4条边,每个三角形3条边,4×6+3×8=48,考虑到每条边对应两个面,所以实际只有
1
2
×48=24条棱.②正确;
所有的顶点都出现在原来正方体的棱的中点位置,
原来的棱的数目是12,所以现在的顶点的数目是12.
或者从图片上可以看出每个顶点对应4条棱,每条棱很明显对应两个顶点,所以顶点数是棱数的一半即12个.①正确;
三角形和四边形的边长都是
2
2
a,所以正方形总面积为6×
1
2
a
2
=3a
2
,三角形总面积为8×
1
2
×
1
2
a
2
sin60°=
3
a
2
,
表面积(3+
3
)a
2
,故④错;
体积为原正方形体积减去8个三棱锥体积,每个三棱锥体积为8×
1
6
(
a
2
)
3
=
1
6
a
2
,剩余总体积为a
3
-
1
6
a
3
=
5
6
a
3
.⑤正确.
故答案为:①②⑤.
举一反三
圆x
2
+(y+1)
2
=3绕直线y=kx-1旋转一周所得的几何体的体积为( )
A.36π
B.12π
C.
4
3
π
D.4π
题型:不详
难度:
|
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关于图中的正方体ABCD-A
1
B
1
C
1
D
1
,下列说法正确的有:______.
①P点在线段BD上运动,棱锥P-AB
1
D
1
体积不变;
②P点在线段BD上运动,直线AP与平面AB
1
D
1
所成角不变;
③一个平面α截此正方体,如果截面是三角形,则必为锐角三角形;
④一个平面α截此正方体,如果截面是四边形,则必为平行四边形;
⑤平面α截正方体得到一个六边形(如图所示),则截面α在平面AB
1
D
1
与平面BDC
1
间平行移动时此六边形周长先增大,后减小.
题型:不详
难度:
|
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已知长方体ABCD-A
1
B
1
C
1
D
1
中,O
1
是上底面对角线A
1
C
1
、B
1
D
1
的交点,体对角线A
1
C交截面AB
1
D
1
于点P,求证:O
1
、P、A三点在同一条直线上.
题型:不详
难度:
|
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如图,在长方体ABCD-A
1
B
1
C
1
D
1
中,EF
∥
B
1
C
1
,用平面BCFE把这个长方体分成了(1)、(2)两部分后,这两部分几何体的形状是( )
A.(1)是棱柱,(2)是棱台
B.(1)是棱台,(2)是棱柱
C.(1)(2)都是棱柱
D.(1)(2)都是棱台
题型:不详
难度:
|
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如图是正方体的平面展开图.在这个正方体中,
①BM与ED平行;
②CN与BE是异面直线;
③CN与BM成60°角;
④DM与BN垂直.
以上四个命题中,正确命题的序号是( )
A.①②③
B.②④
C.③④
D.②③④
题型:不详
难度:
|
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