如图,在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中,M、N分别是AA1、D1C1的中点,过D、M、N三点的平面与正方体的下底面相交于直线l;(1)画出直线l;

如图,在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中,M、N分别是AA1、D1C1的中点,过D、M、N三点的平面与正方体的下底面相交于直线l;(1)画出直线l;

题型:不详难度:来源:
如图,在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中,M、N分别是AA1、D1C1的中点,过D、M、N三点的平面与正方体的下底面相交于直线l;
(1)画出直线l;
(2)设l∩A1B1=P,求PB1的长;
(3)求D到l的距离.
答案
(1)连接DM并延长交D1A1的延长线于Q.连接NQ,
则NQ即为所求的直线l.
(2)设QN∩A1B1=P,△A1MQ≌△MAD,
∴A1Q=AD=A1D1,A1是QD1的中点.
∴A1P=
1
2
D1N=
a
4
.∴PB1=
3
4
a.
(3)作D1H⊥l于H,连接DH,可证明l⊥平面DD1H,则DH⊥l,则DH的长就是D到l的距离.
在Rt△QD1N中,两直角边D1N=
a
2
,D1Q=2a,斜边QN=


17
2
a
,∴D1H•QN=D1N•D1Q,即D1H=
2


17
17
a
,DH=


(
2


17
17
a)
2
+a2
=


357
17
a
,∴D1到l的距离为


357
17
a
举一反三
如图,一个结晶体的形状为平行六面体,其中,以顶点A为端点的三条棱长都等于1,且它们彼此的夹角都是60°,那么以这个顶点为端点的晶体的对角线的长为(  )
A.


6
B.2C.3D.


3

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已知在三棱锥T-ABC中,TA,TB,TC两两垂直,T在地面ABC上的投影为D,给出下列命题:
①TA⊥BC,TB⊥AC,TC⊥AB;
②△ABC是锐角三角形;
1
TD2
=
1
TA2
+
1
TB2
+
1
TC2

S2△ABC
=
1
3
(
S2△TAB
+
S2△TAC
+
S2△TBC
)
(注:S△ABC表示△ABC的面积)
其中正确的是______(写出所有正确命题的编号).
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如图所示,已知空间四边形的每条边和对角线长都等于a,点E、F、G分别为AB、AD、DC的中点,则a2等于(  )
A.2


BA


BC
B.2


AD


BD
C.2


FG


CA
D.2


EF


CB

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已知六棱锥P-ABCDEF的底面是正六边形,PA⊥平面ABC.则下列结论不正确的是(  )
A.CD平面PAFB.DF⊥平面PAFC.CF平面PABD.CF⊥平面PAD

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如图,四面体OABC的三条棱OA,OB,OC两两垂直,OA=OB=2,OC=3,D为四面体OABC外一点.给出下列命题.
①不存在点D,使四面体ABCD有三个面是直角三角形
②不存在点D,使四面体ABCD是正三棱锥
③存在点D,使CD与AB垂直并且相等
④存在无数个点D,使点O在四面体ABCD的外接球面上
其中真命题的序号是(  )
A.①②B.②③C.③D.③④

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