如图,在正四棱台内,以小底为底面.大底面中心为顶点作一内接棱锥.已知棱台小底面边长为b,大底面边长为a,并且棱台的侧面积与内接棱锥的侧面面积相等,求这个棱锥的高
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如图,在正四棱台内,以小底为底面.大底面中心为顶点作一内接棱锥.已知棱台小底面边长为b,大底面边长为a,并且棱台的侧面积与内接棱锥的侧面面积相等,求这个棱锥的高
题型:不详
难度:
来源:
如图,在正四棱台内,以小底为底面.大底面中心为顶点作一内接棱锥.已知棱台小底面边长为b,大底面边长为a,并且棱台的侧面积与内接棱锥的侧面面积相等,求这个棱锥的高,并指出有解的条件.
答案
如图,过高OO
1
和AD的中点E作棱锥和棱台的截面,得棱台的斜高EE
1
和棱锥的斜高为EO
1
,设OO
1
=h,∴
S
锥侧
=
1
2
•4b•E
O
1
=2bE
O
1
S
台侧
=
1
2
(4a+4b)•E
E
1
=2(a+b)•E
E
1
, ∴2bE
O
1
=2(a+b) E
E
1
①
∵OO
1
E
1
E是直角梯形,其中
OE=
b
2
,
O
1
E
1
=
a
2
∴根据勾股定理得,
E
E
1
2
=
h
2
+
(
a
2
-
b
2
)
2
,E
O
1
2
=
h
2
+
(
b
2
)
2
②
①式两边平方,把②代入得:
b
2
(
h
2
+
b
2
4
)=(a+b
)
2
[
h
2
+
(
a
2
-
b
2
)
2
]
解得
h
2
=
a
2
(2
b
2
-
a
2
)
4a(a+2b)
,即
h=
1
2
a(2
b
2
-
a
2
)
a+2b
显然,由于a>0,b>0,所以此题当且仅当
a<
2
b
时才有解.
举一反三
两个对角面都是矩形的平行六面体是( )
A.正方体
B.正四棱柱
C.长方体
D.直平行六面体
题型:不详
难度:
|
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如图,在正方体ABCD-A
1
B
1
C
1
D
1
中,M,N分别是BC
1
,CD
1
的中点,则下列说法错误的是( )
A.MN与CC
1
垂直
B.MN与AC垂直
C.MN与BD平行
D.MN与A
1
B
1
平行
题型:不详
难度:
|
查看答案
将半径都为1的4个钢球完全装入形状为正四面体的容器里,这个正四面体的高的最小值为( )
A.
3
+2
6
3
B.2+
2
6
3
C.4+
2
6
3
D.
4
3
+2
6
3
题型:黑龙江
难度:
|
查看答案
在四棱锥的四个侧面中,直角三角形最多可有 ______个.
题型:不详
难度:
|
查看答案
如图,点P
1
,P
2
,…,P
10
分别是四面体顶点或棱的中点.那么,在同一平面上的四点组(P
1
,P
i
,P
j
,P
k
)(1<i<j<k≤10)有 ______个.
题型:不详
难度:
|
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