已知一个四棱锥P－ABCD的三视图(正视图与侧视图为直角三角形，俯视图是带有一条对角线的正方形)如图，E是侧棱PC的中点．(1)求四棱锥P－ABCD的体积；(2

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已知一个四棱锥P－ABCD的三视图(正视图与侧视图为直角三角形，俯视图是带有一条对角线的正方形)如图，E是侧棱PC的中点．

(1)求四棱锥P－ABCD的体积；
(2)求证：平面APC⊥平面BDE.

答案

（1）（2）见解析

解析

(1)由三视图可知，AB＝BC＝1，PC⊥平面ABCD，且PC＝2，
又底面ABCD是正方形，故S_{正方形ABCD}＝1，所以V_P－ABCD＝×1×2＝.
(2)因为底面ABCD是正方形，所以对角线AC⊥BD，
又PC⊥平面ABCD，而BD⊂平面ABCD，故BD⊥PC，
又PC∩AC＝C，所以，BD⊥平面APC.
又BD⊂平面BDE，故平面APC⊥平面BDE.