试题分析:问题等价于用一个平面去截正方体,所截得的较小的几何体的体积为正方体体积的,假设正方体容器,假设正方体的棱长为,则正方体的体积, (1)当截面过、、三点时,平面截正方体形成的较小的几何体为三棱锥,, ,此时水面形状即截面图形形状为三角形;
(2)如下图所示,用不与棱平行的平面截正方体分别交、、、于、、、,由于平面平面,平面平面,平面平面,由平面与平面平行的性质定理知,且,则截面图形为梯形,则几何体为台体,只需与的面积满足一定的条件,能保证平面截正方体所形成的较小体积的几何体的体积为.
(3)如下图所示,用平行于棱去截正方体分别交、、、于、、、,所形成的较小的几何体为三棱柱,当,则三棱柱的体积 ,此时截面图形为矩形.
(4)如下图所示,在水面刚过、、的时候,再将正方体容器再倾斜一点,这时水面(即截面)分别交棱、、、、于点、、、、五点,将这五点连接起来便成为五边形,由平面与平面平行的性质定理知,,此时截面截正方体所形成的体积较小的几何体为多面体,它的体积为.
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