(本小题满分12分)某建筑物的上半部分是多面体, 下半部分是长方体(如图). 该建筑物的正视图和侧视图(如图), 其中正(主)视图由正方形和等腰梯形组合而成,侧

(本小题满分12分)某建筑物的上半部分是多面体, 下半部分是长方体(如图). 该建筑物的正视图和侧视图(如图), 其中正(主)视图由正方形和等腰梯形组合而成,侧

题型:不详难度:来源:
(本小题满分12分)
某建筑物的上半部分是多面体, 下半部分是长方体(如图). 该建筑物的正视图和侧视图(如图), 其中正(主)视图由正方形和等腰梯形组合而成,侧(左)视图由长方形和等腰三角形组合而成.


(Ⅰ)求直线与平面所成角的正弦值;
(Ⅱ)求二面角的余弦值;
(Ⅲ)求该建筑物的体积.
答案
(1)直线与平面所成角的正弦值为.
(2)二面角的余弦值为.(3)建筑物的体积为.
解析

试题分析:解法1:(1)作平面
垂足为,连接,则是直线与平面所成的角.  ………………1分
由于平面平面
是直线与平面所成的角.……2分
,垂足为,连接
平面,∴.
平面平面
平面.
由题意知
在Rt△中,
在Rt△ 中,,在Rt△ 中,
∴直线与平面所成角的正弦值为.        ………………………… 4分
(2)延长于点,连接,由(1)知平面
平面,∴.∵,∴
是二面角的平面角.        ………………………… 6分
在△中,,∵,∴.
∴二面角的余弦值为.             …………………………… 8分
(3)作于点,作于点,由题意知多面体可分割为两个等体积的四棱锥和一个直三棱柱.
四棱锥的体积为
直三棱柱的体积为, 
∴多面体的体积为.         ……………10分
长方体的体积为.   ………… 11分
∴建筑物的体积为.  …………………… 12分
解法2:(参照解法1评分)
(1)以点为原点,所在直线为轴,所在直线为轴,所在直线为轴,建立空间直角坐标系(如图),

平面,垂足为,作,垂足为,依题意知,
.
.
平面,∴平面的一个法向量为.
设直线与平面所成角为,则
∴直线与平面所成角的正弦值为.
(2)由(1)知,设平面的法向量为
,得取平面的一个法向量为.
设平面的法向量为,由,得
∴平面的一个法向量为.
,   ∴二面角的余弦值为.
(3)(同解法1) 略
点评:本题通过考查直线与直线,直线与平面、平面与平面的位置关系等基础知识,考查空间想像能力、推理论证能力、运算求解能力、考查化归与转化思想,函数与方程思想等.利用空间向量,往往使问题的解答得以简化,属中档题。
举一反三
(14分)如图,ABCD是正方形空地,边长为30m,电源在点P处,点P到边AD,AB距离分别为m,m.某广告公司计划在此空地上竖一块长方形液晶广告屏幕.线段MN必须过点P,端点M,N分别在边AD,AB上,设AN=x(m),液晶广告屏幕MNEF的面积为S(m2).

(1)求S关于x的函数关系式及该函数的定义域;
(2)当x取何值时,液晶广告屏幕MNEF的面积S最小?
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某多面体的三视图(单位:cm)如图所示,则此多面体的体积是(   )
                   
A.B.cm3C.cm3D.cm3

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一个几何体的三视图及其尺寸(单位:cm) ,如图所示,则该几何体的体积为(         )
A.144B.C.D.64

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某几何体的三视图如图所示,图中的四边形都是边长为的正方形,两条虚线互相垂直,则该几何体的体积是(  )
A.B.C.D.

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(本题满分13分)如图,圆柱内有一个三棱柱,三棱柱的底面为圆柱底面的内接三角形,且AB是圆O直径.

(Ⅰ)证明:平面平面
(Ⅱ)设,在圆柱内随机选取一点,记该点取自于三棱柱内的概率为
(ⅰ)当点C在圆周上运动时,求的最大值;
(ii)记平面与平面所成的角为,当取最大值时,求的值.
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