试题分析:(I)取BD的中点E,先证得∠AEC就是二面角A-BD-C的平面角,再在△ACE中利用余弦定理即可求得AC; (II)欲证线面垂直,转化为证明线线垂直,证明AC⊥BC,AC⊥CD即可; (III)欲求直线AC与平面ABD所成角,先结合(I)中的垂直关系作出直线AC与平面ABD所成角,最后利用直角三角形中的边角关系即可求出所成角的正弦值. 解:(Ⅰ)取的中点,连接, 由,得: 就是二面角的平面角,……………2分
在中, …………………………………4分 (Ⅱ)由, , 又平面.……………8分 (Ⅲ)方法一:由(Ⅰ)知平面平面 ∴平面平面平面平面, 作交于,则平面, 就是与平面所成的角.……13分 方法二:设点到平面的距离为, ∵ 于是与平面所成角的正弦为 . 方法三:以所在直线分别为轴,轴和轴建立空间直角坐标系, 则. 设平面的法向量为,则 , , 取,则, 于是与平面所成角的正弦即 . 点评:解决该试题的关键是利用定义法得到二面角是该试题的突破口,并能结合三角形的与线订立的到边AC的长度。熟练运用线面垂直的判定定理和性质定理。 |