如图，在四棱柱P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，AB∥DC，AB⊥AD，BC=5，DC=3，AD=4，∠PAD=60°．（I）当正视方向与向量AD的方向相同时

题型：福建难度：来源：

如图，在四棱柱P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，AB∥DC，AB⊥AD，BC=5，DC=3，AD=4，∠PAD=60°．
（I）当正视方向与向量

AD

的方向相同时，画出四棱锥P-ABCD的正视图（要求标出尺寸，并写出演算过程）；
（II）若M为PA的中点，求证：DM∥平面PBC；
（III）求三棱锥D-PBC的体积．

答案

（I）在梯形ABCD中，作CE⊥AB，E为垂足，则四边形ADCE为矩形，∴AE=CD=3．
直角三角形BCE中，∵BC=5，CE=AD=4，由勾股定理求得BE=3，∴AB=6．
在直角三角形PAD中，∵∠PAD=60°，AD=4，∴PD=AD•tan60°=4

3

，四棱锥P-ABCD的正视图如图所示：
（II）∵M为PA的中点，取PB得中点为N，则MN平行且等于

1

2

AB，再由CD平行且等于

1

2

AB，可得MN和CD平行且相等，
故MNCD为平行四边形，故DM∥CN．
由于DM 不在平面PBC内，而CN在平面PBC内，故DM∥平面PBC．
（III）三棱锥D-PBC的体积V_D-PBC=V_P-BCD=

1

3

S_△BCD•PD=

1

3

（S_梯形ABCD-S_△ABD）•PD
=

1

3

[

4(3+6)

2

-

1

2

×6×4]×4

3

=8

3

．