如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥底面ABCD，PA=AB=，点E是棱PB的中点。（1）求直线AD与平面PBC的距离；（2）若求二面角A-E

题型：重庆市高考真题难度：来源：

如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥底面ABCD，PA=AB=，点E是棱PB的中点。
（1）求直线AD与平面PBC的距离；
（2）若求二面角A-EC-D的平面角的余弦值。

答案

解：（1）如图，在矩形ABCD中，AD∥BC，
从而AD∥平面PBC，故直线AD与平面PBC的距离为点A到平面PBC的距离
因为PA⊥底面ABCD，故PA⊥AB，
由PA=AB知△PAB为等腰直角三角形，
又点E是棱PB的中点，故AE⊥PB
又在矩形AB-CD中，BC⊥AB，
而AB是PB在底面ABCD内的射影，由三垂线定理得BC⊥PB，从而BC⊥平面PAB，故BC⊥AE
从而AE⊥平面PBC，故AE之长即为直线AD与平面PBC的距离，
在Rt△PAB中，
所以；
（2）过点D作DF⊥CE，交CE于F，过点F作FG⊥CE，交AC于G，
则∠DFG为所求的二面角的平面角
由（1）知BC⊥平面PAB，又AD∥BC，
得AD⊥平面PAB，故AD⊥AE，从而
在Rt△CBE中，
由
所以△CDE为等边三角形，故F为CE的中点，且DF=CD·
因为AE⊥平面PBC，设AE⊥CE，又FG⊥CE，知
从而，且G点为AC的中点
连结DG，则在Rt△ADG中，

所以。