在边长为a的正三角形铁皮的三个角切去三个全等的四边形，再把它的边沿虚线折起(如图)，做成一个无盖的正三角形底铁皮箱，当箱底边长为多少时，箱子容积最大？最大容积是

题型：不详难度：来源：

在边长为a的正三角形铁皮的三个角切去三个全等的四边形，再把它的边沿虚线折起(如图)，做成一个无盖的正三角形底铁皮箱，当箱底边长为多少时，箱子容积最大？最大容积是多少？

答案

当箱子底边长为a时，箱子容积最大，最大值为a³.

解析

设箱底边长为x，则箱高为h＝(0<x<a)，
箱子的容积为V(x)＝x²×sin60°×h＝ax²－x³(0<x<a)．
由V′(x)＝ax－x²＝0，解得x₁＝0(舍)，x₂＝a，
且当x∈时，V′(x)>0；当x∈时，V′(x)<0，
所以函数V(x)在x＝a处取得极大值，
这个极大值就是函数V(x)的最大值：V＝a³.
答：当箱子底边长为a时，箱子容积最大，最大值为a³.