四面体的六条棱中，有五条棱长都等于a.(1)求该四面体的体积的最大值；(2)当四面体的体积最大时，求其表面积．

题型：不详难度：来源：

四面体的六条棱中，有五条棱长都等于a.
(1)求该四面体的体积的最大值；
(2)当四面体的体积最大时，求其表面积．

答案

（1）a³（2）a²

解析

(1)如图，在四面体ABCD中，设AB＝BC＝CD＝AC＝BD＝a，AD＝x，取AD的中点为P，BC的中点为E，连结BP、EP、CP.得到AD⊥平面BPC，

∴V_A－BCD＝V_A－BPC＋V_D－BPC＝·S_△BPC·AP＋S_△BPC·PD＝·S_△BPC·AD＝··a≤·＝a³(当且仅当x＝a时取等号)．
∴该四面体的体积的最大值为a³.
(2)由(1)知，△ABC和△BCD都是边长为a的正三角形，△ABD和△ACD是全等的等腰三角形，其腰长为a，底边长为a，
∴S_表＝2×a²＋2××a×＝a²＋a×＝a²＋＝a².