在如图所示的几何体中,是边长为的正三角形,,平面,平面平面,,且.（1）证明：//平面；（2）证明：平面平面；（3）求该几何体的体积.

题型：不详难度：来源：

在如图所示的几何体中,是边长为的正三角形,,平面,平面平面,,且.

（1）证明：//平面；
（2）证明：平面平面；
（3）求该几何体的体积.

答案

（1）详见解析；（2）详见解析；（3）

解析

试题分析：（1）取的中点，根据等腰三角形中线即为高线可得，又因为面平面，根据面面垂直的性质定理可得平面，已知平面，所以，根据线面平行的判定定理可得//平面。（2）因为,且，斜边中线，又因为，可证得是平行四边形,可得，根据线面垂直的判定定理可证得平面，即平面，从而可得，又因为即可证得平面，从而证得平面平面。（3）根据前两问的条件可证得平面，从而可将此几何体分割为以四边形为底面的两个四棱锥，然后再求其体积。
试题解析：证明:
(1) 取的中点,连接、,

由已知,可得：，
又因为平面⊥平面,平面平面，
所以平面，
因为平面, 所以， 
又因为平面,平面，
所以平面.                                      4分
(2)由(1)知,又, ,
所以四边形是平行四边形,则有， 
由（1）得,又,
平面, 所以平面， 
又平面,所以，
由已知, ,平面，  
因为平面, 所以平面平面.                     10分
(也可利用勾股定理等证明题中的垂直关系)
（3），平面，     11分
，易得四边形为矩形其面积，             12分
故该几何体的体积=.                  14分