在如图所示的多面体中，已知正三棱柱ABCA1B1C1的所有棱长均为2，四边形ABDC是菱形．(1)求证：平面ADC1⊥平面BCC1B1；(2)求该多面体的体积．

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在如图所示的多面体中，已知正三棱柱ABCA₁B₁C₁的所有棱长均为2，四边形ABDC是菱形．

(1)求证：平面ADC₁⊥平面BCC₁B₁；
(2)求该多面体的体积．

答案

（1）见解析（2）

解析

(1)证明：由正三棱柱ABCA₁B₁C₁，得BB₁⊥AD.
而四边形ABDC是菱形，所以AD⊥BC.
又BB₁平面BB₁C₁C，BC平面BB₁C₁C，且BC∩BB₁＝B，所以AD⊥平面BCC₁B₁.
又由AD平面ADC₁，得平面ADC₁⊥平面BCC₁B₁.
(2)解：因为正三棱柱ABCA₁B₁C₁的体积为V₁＝S_△ABC×AA₁＝2，
四棱锥DB₁C₁CB的体积为V₂＝S平面BCC₁B₁×，
所以该多面体的体积为V＝.