点A、B、C、D在同一个球的球面上，AB＝BC＝，AC＝2，若四面体ABCD体积的最大值为，则这个球的表面积为(　　)A．B．8π C．D．

题型：不详难度：来源：

点A、B、C、D在同一个球的球面上，AB＝BC＝，AC＝2，若四面体ABCD体积的最大值为，则这个球的表面积为(　　)

A．

B．8π

C．

D．

答案

C

解析

如图所示，

O为球的球心，由AB＝BC＝，AC＝2可知∠ABC＝，即△ABC所在的圆面的圆心O₁为AC的中点，故AO₁＝1，S_△ABC＝1，当D为OO₁的延长线与球面的交点时，D到平面ABC的距离最大，四面体ABCD的体积最大．连接OA，设球的半径为R，则DO₁＝R＋，此时V_A－BCD＝×S_△ABC×DO₁＝(R＋)＝，解得R＝，故这个球的表面积为4π²＝.