已知三棱锥SABC的所有顶点都在球O的球面上,△ABC是边长为1的正三角形,SC为球O的直径,且SC=2,则此三棱锥的体积为________.
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已知三棱锥SABC的所有顶点都在球O的球面上,△ABC是边长为1的正三角形,SC为球O的直径,且SC=2,则此三棱锥的体积为________. |
答案
解析
在Rt△ASC中,AC=1,∠SAC=90°,SC=2,所以SA==.同理,SB=.过A点作SC的垂线交SC于D点,连接DB,因为△SAC≌△SBC,故BD⊥SC,AD=BD,故SC⊥平面ABD,且△ABD为等腰三角形.因为∠ASC=30°,故AD=SA=,则△ABD的面积为×1×=,则三棱锥S-ABC的体积为××2= |
举一反三
如图,四边形ABCD是边长为2的正方形,直线l与平面ABCD平行,E和F是l上的两个不同点,且EA=ED,FB=FC.E′和F′是平面ABCD内的两点,EE′和FF′都与平面ABCD垂直.
(1)证明:直线E′F′垂直且平分线段AD; (2)若∠EAD=∠EAB=60 °,EF=2.求多面体ABCDEF的体积. |
已知四棱锥PABCD的底面ABCD是边长为2的正方形,PD⊥底面ABCD,E,F分别为棱BC,AD的中点. (1)求证:DE∥平面PFB; (2)已知二面角PBFC的余弦值为,求四棱锥PABCD的体积. |
有一个倒圆锥形容器,它的轴截面是一个正三角形,在容器内放一个半径为r的铁球,并注入水,使水面与球正好相切,然后将球取出,求这时容器中水的深度. |
在直角梯形ABCD中,AB∥CD,AD⊥AB,CD=2AB=4,AD=,E为CD的中点,将△BCE沿BE折起,使得CO⊥DE,其中垂足O在线段DE内.
(1)求证:CO⊥平面ABED; (2)问∠CEO(记为θ)多大时,三棱锥C-AOE的体积最大,最大值为多少. |
如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,CA=CB,AB=AA1,∠BAA1=60°.
(1)证明:AB⊥A1C; (2)若AB=CB=2,A1C=,求三棱柱ABC-A1B1C1的体积; (3)若平面ABC⊥平面AA1B1B,AB=CB=2,求直线A1C与平面BB1C1C所成角的正弦值. |
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