(1)证明 ∵EA=ED且EE′⊥平面ABCD, ∴E′D=E′A,∴点E′在线段AD的垂直平分线上. 同理,点F′在线段BC的垂直平分线上. 又四边形ABCD是正方形, ∴线段BC的垂直平分线也就是线段AD的垂直平分线,即点E′、F′都在线段AD的垂直平分线上. ∴直线E′F′垂直且平分线段AD. (2)解 如图,连接EB、EC,由题意知多面体ABCDEF可分割成正四棱锥EABCD和正四面体EBCF两部分.设AD的中点为M,在Rt△MEE′中,由于ME′=1,ME=,∴EE′=.
∴VEABCD=·S正方形ABCD·EE′=×22×=. 又VEBCF=VCBEF=VCBEA=VEABC=S△ABC·EE′=××22×=, ∴多面体ABCDEF的体积为VEABCD+VEBCF=2. |