如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,CA=CB,AB=AA1,∠BAA1=60°.(1)证明:AB⊥A1C;(2)若AB=CB=2,A1C=,求三棱柱ABC-

如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,CA=CB,AB=AA1,∠BAA1=60°.(1)证明:AB⊥A1C;(2)若AB=CB=2,A1C=,求三棱柱ABC-

题型:不详难度:来源:
如图,在三棱柱ABCA1B1C1中,CACBABAA1,∠BAA1=60°.

(1)证明:ABA1C
(2)若ABCB=2,A1C,求三棱柱ABCA1B1C1的体积;
(3)若平面ABC⊥平面AA1B1BABCB=2,求直线A1C与平面BB1C1C所成角的正弦值.
答案
(1)见解析(2)3(3)
解析
(1)如图,取AB的中点O,连接COA1O.

CACB,∴COAB
又∵AA1AB,得AA1=2AO
又∠A1AO=60°,
∴∠AOA1=90°,即ABA1O
AB⊥平面A1OC,又A1C⊂平面A1OC
ABA1C.
(2)∵ABCB=2=AC,∴CO
A1AAB=2,∠BAA1=60°,
∴在等边三角形AA1B中,A1O
A1C2A1O2CO2=6,
∴∠COA1=90°,即A1OCO
A1O⊥平面ABC
VABCA1B1C1×22×=3.
(3)作辅助线同(1)
O为原点,OA所在直线为x轴,OA1所在直线为y轴,OC所在直线为z轴,建立如图直角坐标系,则A(1,0,0),A1(0,,0),B(-1,0,0),C(0,0,),B1(-2,,0),则=(1,0,),=(-1,,0),=(0,-),设n=(xyz)为平面BB1C1C的法向量,则所以n=(,1,-1),
则cos<n=-
所以A1C与平面BB1C1C所成角的正弦值为.
举一反三
如图所示,图(2)中实线围成的部分是长方体(图(1))的平面展开图,其中四边形ABCD是边长为1的正方形.若向虚线围成的矩形内任意抛掷一质点.它落在长方体的平面展开图内的概率是,则此长方体的体积是________.

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在直三棱柱中,分别是的中点.

(1)求证:平面;
(2)求多面体的体积.
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在等腰梯形ABCD中,ABCDABBCAD=2,CD=4,E为边DC的中点,如图1.将△ADE沿AE折起到△AEP位置,连PBPC,点Q是棱AE的中点,点M在棱PC上,如图2.

(1)若PA∥平面MQB,求PMMC
(2)若平面AEP⊥平面ABCE,点MPC的中点,求三棱锥A­MQB的体积.
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一个正方体的各顶点均在同一球的球面上,若该球的体积为4π,则该正方体的表面积为________.
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已知棱长为的正方体,则以该正方体各个面的中心为顶点的多面体的体积为________.
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