(1)连AC、BQ,设AC∩BQ=F,连MF. 则平面PAC∩平面MQB=MF,因为PA∥平面MQB,PA⊂平面PAC,所以PA∥MF.(2分) 在等腰梯形ABCD中,E为边DC的中点,所以由题设,AB=EC=2. 所以四边形ABCE为平行四边形,则AE∥BC.(4分) 从而△AFQ∽△CFB,AF∶FC=AQ∶CB=1∶2. 又PA∥MF,所以△FMC∽△APC,所以PM∶MC=AF∶FC=1∶2.(7分) (2)由(1)知,△AED是边长为2的正三角形,从而PQ⊥AE. 因为平面AEP⊥平面ABCE,交线为AE,所以PQ⊥平面ABCE,PQ⊥QB,且PQ=. 因为PQ⊂平面PQC,所以平面PQC⊥平面ABCE,交线为QC.(9分) 过点M作MN⊥QC于N,则MN⊥平面ABCE,所以MN是三棱锥MABQ的高. 因为PQ⊥平面ABCE,MN⊥平面ABCE,所以PQ∥MN. 因为点M是PC的中点,所以MN=PQ=.(11分) 由(1)知,△ABE为正三角形,且边长为2.所以,S△ABQ=. 三棱锥AMQB的体积VAMQB=VMABQ=××=.(14分) |