有一个倒圆锥形容器,它的轴截面是一个正三角形,在容器内放一个半径为r的铁球,并注入水,使水面与球正好相切,然后将球取出,求这时容器中水的深度.
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有一个倒圆锥形容器,它的轴截面是一个正三角形,在容器内放一个半径为r的铁球,并注入水,使水面与球正好相切,然后将球取出,求这时容器中水的深度.
题型:不详
难度:
来源:
有一个倒圆锥形容器,它的轴截面是一个正三角形,在容器内放一个半径为
r
的铁球,并注入水,使水面与球正好相切,然后将球取出,求这时容器中水的深度.
答案
r
解析
如图所示,作出轴截面,因轴截面是正三角形,根据切线性质知当球在容器内时,水的深度为3
r
,水面半径
BC
的长为
r
,则容器内水的体积为
V
=
V
圆锥
-
V
球
=
(
r
)
2
·3
r
-
r
3
=
r
3
,
将球取出后,设容器中水的深度为
h
,则水面圆的半径为
h
,从而容器内水的体积为
V
′=
2
h
=
h
3
,由
V
=
V
′,得
h
=
r
举一反三
在直角梯形
ABCD
中,
AB
∥
CD
,
AD
⊥
AB
,
CD
=2
AB
=4,
AD
=
,
E
为
CD
的中点,将△
BCE
沿
BE
折起,使得
CO
⊥
DE
,其中垂足
O
在线段
DE
内.
(1)求证:
CO
⊥平面
ABED
;
(2)问∠
CEO
(记为
θ
)多大时,三棱锥
C
-
AOE
的体积最大,最大值为多少.
题型:不详
难度:
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如图,在三棱柱
ABC
-
A
1
B
1
C
1
中,
CA
=
CB
,
AB
=
AA
1
,∠
BAA
1
=60°.
(1)证明:
AB
⊥
A
1
C
;
(2)若
AB
=
CB
=2,
A
1
C
=
,求三棱柱
ABC
-
A
1
B
1
C
1
的体积;
(3)若平面
ABC
⊥平面
AA
1
B
1
B
,
AB
=
CB
=2,求直线
A
1
C
与平面
BB
1
C
1
C
所成角的正弦值.
题型:不详
难度:
|
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如图所示,图(2)中实线围成的部分是长方体(图(1))的平面展开图,其中四边形
ABCD
是边长为1的正方形.若向虚线围成的矩形内任意抛掷一质点.它落在长方体的平面展开图内的概率是
,则此长方体的体积是________.
题型:不详
难度:
|
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在直三棱柱
中,
分别是
的中点.
(1)求证:
平面
;
(2)求多面体
的体积.
题型:不详
难度:
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在等腰梯形
ABCD
中,
AB
∥
CD
,
AB
=
BC
=
AD
=2,
CD
=4,
E
为边
DC
的中点,如图1.将△
ADE
沿
AE
折起到△
AEP
位置,连
PB
、
PC
,点
Q
是棱
AE
的中点,点
M
在棱
PC
上,如图2.
(1)若
PA
∥平面
MQB
,求
PM
∶
MC
;
(2)若平面
AEP
⊥平面
ABCE
,点
M
是
PC
的中点,求三棱锥
A
MQB
的体积.
题型:不详
难度:
|
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