如图,斜三棱柱ABC-A"B"C"中,底面是边长为a的正三角形,侧棱长为b,侧棱AA"与底面相邻两边AB,AC都成45°角.(Ⅰ)求此斜三棱柱的表面积.(Ⅱ)求

题型：不详难度：来源：

如图,斜三棱柱ABC-A"B"C"中,底面是边长为a的正三角形,侧棱长为b,侧棱AA"与底面相邻两边AB,AC都成45°角.

(Ⅰ)求此斜三棱柱的表面积.
(Ⅱ)求三棱锥B"-ABC的体积.

答案

（1）(+1)ab+a²；（2）.

解析

试题分析：（1）要求表面积，最难求的是面的面积，要分析它的特征，如图，过A"作A"D⊥平面ABC于点D,过点D作DE⊥AB于点E,DF⊥AC于点F,连接A"E,A"F,AD.由题意可知∠A"AE=∠A"AF=45°,AA"=AA",于是Rt△A"AE≌Rt△A"AF.，因此A"E=A"F,从而可得DE=DF.故AD平分∠BAC,又∵AB=AC,∴BC⊥AD.故BC⊥AA".∵AA"∥BB",∴BC⊥BB".因此四边形BCC"B"是矩形,故斜三棱柱的侧面积为2×a×bsin45°+ab=(+1)ab.又∵斜三棱柱的底面积为2×a²=a²,∴斜三棱柱的表面积为(+1)ab+a².（2）求B"-ABC的体积，要求出底面ABC的面积，高的求解根据，，，
所以.
试题解析：

（1）如图，过A"作A"D⊥平面ABC于点D,过点D作DE⊥AB于点E,DF⊥AC于点F,连接A"E,A"F,AD.
由题意可知∠A"AE=∠A"AF=45°,AA"=AA",于是Rt△A"AE≌Rt△A"AF.
因此A"E=A"F,从而可得DE=DF.故AD平分∠BAC,
又∵AB=AC,∴BC⊥AD.故BC⊥AA".∵AA"∥BB",∴BC⊥BB".因此四边形BCC"B"是矩形,故斜三棱柱的侧面积为2×a×bsin45°+ab=(+1)ab.
又∵斜三棱柱的底面积为2×a²=a²,∴斜三棱柱的表面积为(+1)ab+a².
（2）由（1），，，所以.