(本题满分12分)如图所示,四边形ABCD为正方形,QA⊥平面ABCD,PD∥QA,QA=AB=PD.(1)证明:PQ⊥平面DCQ;(2)求棱锥Q-ABCD的体

(本题满分12分)如图所示,四边形ABCD为正方形,QA⊥平面ABCD,PD∥QA,QA=AB=PD.(1)证明:PQ⊥平面DCQ;(2)求棱锥Q-ABCD的体

题型:不详难度:来源:
(本题满分12分)
如图所示,四边形ABCD为正方形,QA⊥平面ABCD,PD∥QA,QA=AB=PD.

(1)证明:PQ⊥平面DCQ;
(2)求棱锥Q-ABCD的体积与棱锥P-DCQ的体积的比值.
答案
(1)证明:见解析;(2) 1:1.
解析

试题分析:(Ⅰ)利用线面垂直的判定定理证明本题是解决本题的关键,要在平面中寻找与已知直线垂直的两条相交直线,进行线面关系的互相转化;
(Ⅱ)利用体积的计算方法将本题中的体积计算出来是解决本题的关键,掌握好锥体的体积计算公式.
解:                                
(1)证明:由条件知PDAQ为直角梯形.
因为QA⊥平面ABCD,所以平面PDAQ⊥平面ABCD,交线为AD.
又四边形ABCD为正方形,DC⊥AD,
所以DC⊥平面PDAQ,可得PQ⊥DC.
在直角梯形PDAQ中可得DQ=PQ=PD,则PQ⊥QD.
所以PQ⊥平面DCQ.
(2)解:设AB=a.
由题设知AQ为棱锥Q-ABCD的高,所以棱锥Q-ABCD的体积V1a3.
由(1)知PQ为棱锥P-DCQ的高,而PQ=a,△DCQ的面积为a2
所以棱锥P-DCQ的体积V2a3.
故棱锥Q-ABCD的体积与棱锥P-DCQ的体积的比值为1:1.
点评:解决该试题中一定要注意步骤的规范性以及对于线面垂直的性质定理的灵活运用。
举一反三
如图,正方体的棱长为1,为线段上的一点,则三棱锥的体积为   
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直三棱柱中,, ,三棱锥的体积为          .
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(本小题满分12分)
如图,直角梯形ABCD中,∠B=90°,AD//BC,AD=1,BC=2,
∠C=60°,将该梯形绕着AB所在的直线为轴旋转一周,求该旋转体的表面积和体积。
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在一个锥体中,作平行于底面的截面,若这个截面面积与底面面积之比为1∶3,则锥体被截面所分成的两部分的体积之比为(     )
A.1∶ B.1∶9C.1∶D.1∶

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矩形ABCD中,AB= 4,BC=3,沿AC将矩形ABCD折成一个直二面角B-AC-D,则四面体ABCD的外接球的体积为(   )
A.B.C.D.

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