本题给出所有棱长都相等的正三棱柱,求证线面平行并求三棱锥的体积,着重考查了线面垂直的判定与性质、线面平行的判定和柱体锥体的体积公式等知识,属于中档题. (I)根据三棱柱的侧面ABB1A1是平行四边形,得A1B1∥AB,再结合线面平行的判定定理,可得A1B1∥平面ABD; (II)取AB中点F,连接EF、CF.根据线面垂直的性质证出EF⊥AB,结合正△ABC中,中线CF⊥AB,所以AB⊥平面CEF,从而可得AB⊥CE; (III)由三棱锥E-ABC与三棱柱ABC-A1B1C1同底等高,得三棱锥E-ABC的体积等于正三棱柱ABC-A1B1C1体积的 ,求出正三棱柱ABC-A1B1C1体积,从而得出三棱锥E-ABC的体积,即得三棱锥C-ABE的体积. 解:(Ⅰ)证明:由正三木棱住的性质知∥AB, 因为, 所以∥平面ABD.……………………………………4分 (Ⅱ)设AB中点为G,连结GE,GC。
又EG∥, 又 而…………………………9分 (Ⅲ)由题意可知: ………………………14分 |