正三棱柱ABC-A1B1C1内接于半径为1的球，则当该棱柱体积最大时，高h=（　　）A．63B．66C．3D．233

题型：不详难度：来源：

正三棱柱ABC-A₁B₁C₁内接于半径为1的球，则当该棱柱体积最大时，高h=（　　）

A． 6 3

B． 6 6

C． 3

D． 2 3 3

答案

设该棱柱的高为h，
由正三棱柱ABC-A₁B₁C₁内接于半径为1的球，
可得球心到正三棱柱底面ABC的距离d=

1

2

h
则正三棱柱底面ABC的底面半径r=

1-d2

=

1- 1 4 h2

则正三棱柱底面ABC的底面边长a=

3

r=

3- 3 4 h2

则正三棱柱底面ABC的底面面积S=

3

4

a2=

3 3

4

-

3 3

16

h2
则正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的体积V=

1

3

Sh=

3

4

h-

3

16

h3
则V′=

3

4

-

3 3

16

h2
令V′=0，则h=

2 3

3

故当该棱柱体积最大时，高h=

2 3

3

故选D