(Ⅰ)在Rt△ABC中,AB=1, ∠BAC=60°,∴BC=,AC=2. 在Rt△ACD中,AC=2,∠CAD=60°, ∴CD=2,AD=4. ∴SABCD=AB•BC+AC•CD=×1×+×2×2=.则V=××2=. (Ⅱ)∵PA=CA,F为PC的中点, ∴AF⊥PC.∵PA⊥平面ABCD,∴PA⊥CD. ∵AC⊥CD,PA∩AC=A, ∴CD⊥平面PAC.∴CD⊥PC.
∵E为PD中点,F为PC中点, ∴EF∥CD.则EF⊥PC. ∵AF∩EF=F,∴PC⊥平面AEF. (Ⅲ)证法一: 取AD中点M,连EM,CM.则EM∥PA. ∵EM⊄平面PAB,PA⊂平面PAB, ∴EM∥平面PAB. …12分 在Rt△ACD中,∠CAD=60°,AC=AM=2, ∴∠ACM=60°.而∠BAC=60°,∴MC∥AB. ∵MC⊄平面PAB,AB⊂平面PAB, ∴MC∥平面PAB. ∵EM∩MC=M, ∴平面EMC∥平面PAB. ∵EC⊂平面EMC, ∴EC∥平面PAB. 证法二: 延长DC、AB,设它们交于点N,连PN. ∵∠NAC=∠DAC=60°,AC⊥CD, ∴C为ND的中点. …12分 ∵E为PD中点,∴EC∥PN.…14分 ∵EC⊄平面PAB,PN⊂平面PAB, ∴EC∥平面PAB. |