如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC=2，E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F．（1）证明：PA∥平面ED

题型：东城区模拟难度：来源：

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC=2，E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F．
（1）证明：PA∥平面EDB；
（2）证明：PB⊥平面EFD．

答案

（1）证明：连接AC，AC交BD于O．连接EO．
∵底面ABCD是正方形，∴点O是AC的中点．
∴在△PAC中，EO是中位线，∴PA∥EO，
∵EO⊂平面EDB，且PA⊄平面EDB，
∴PA∥平面EDB．

（2）证明：∵PD⊥底面ABCD，且DC⊂底面ABCD，∴PD⊥DC．
∵底面ABCD是正方形，∴DC⊥BC，
∴BC⊥平面PDC．∵DE⊂平面PDC，∴BC⊥DE．
又∵PD=DC，E是PC的中点，∴DE⊥PC．∴DE⊥平面PBC．
∵PB⊂平面PBC，∴DE⊥PB．又∵EF⊥PB，且DE∩EF=E，
∴PB⊥平面EFD．