(文科)在棱长为1的正方体ABCD-A′B′C′D′中,AC′为对角线,M、N分别为BB′,B′C′中点,P为线段MN中点.(1)求DP和平面ABCD所成的角的
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(文科)在棱长为1的正方体ABCD-A′B′C′D′中,AC′为对角线,M、N分别为BB′,B′C′中点,P为线段MN中点.(1)求DP和平面ABCD所成的角的
题型:武汉模拟
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(文科)在棱长为1的正方体ABCD-A′B′C′D′中,AC′为对角线,M、N分别为BB′,B′C′中点,P为线段MN中点.
(1)求DP和平面ABCD所成的角的正切;
(2)求四面体P-AC′D′的体积.
答案
(1)过P作PH⊥BC于足H,连DH,
∵面BC′⊥面AC,则PH⊥面ABCD,
∴DP和面ABCD所成角即为∠HDP.
在正方形BCC′B′,M,N分别为BB′,B′C′中点,P为MN中点,
又B′C′=1,则PH=
3
4
,BH=
1
4
,CH=
3
4
,
DH=
D
C
2
+D
H
2
=
1+
(
3
4
)
2
=
5
4
在Rt△PHD中,tan∠HDP=
3
4
5
4
=
3
5
(6分)
(2)连BC′和B′C交于Q,因为BCC′B′为正方形,则PQ⊥BC′
则PQ=
1
4
B′C=
2
4
,而
S
△AC′D′
=
1
2
•1•
2
=
2
2
∴
V
P
-AC′D′=
1
3
•
2
2
•
2
4
=
1
12
(体积单位)(12分)
举一反三
设正六棱锥的底面边长为1,侧棱长为
5
,那么它的体积为( )
A.
6
3
B.
2
3
C.
3
D.2
题型:云南
难度:
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体积相等的正方体、球、等边圆柱(即底面直径与母线相等的圆柱)的全面积分别为S
1
,S
2
,S
3
,那么它们的大小关系为( )
A.S
1
<S
2
<S
3
B.S
1
<S
3
<S
2
C.S
2
<S
3
<S
1
D.S
2
<S
1
<S
3
题型:云南
难度:
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如图所示四面体ABCD中,AB、BC、BD两两互相垂直,且AB=BC=2,E是AC中点,异面直线AD与BE所成的角的大小为
arccos
10
10
,求四面体ABCD的体积.
题型:上海
难度:
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如图,已知底面半径为r的圆柱被一个平面所截,剩下部分母线长的最大值为a,最小值为b,那么圆柱被截后剩下部分的体积是______.
题型:北京
难度:
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如图,三棱柱ABC-A
1
B
1
C
1
的底面是边长为3的正三角形,侧棱AA
1
垂直于底面ABC,AA
1
=
3
3
2
,D是CB延长线上一点,且BD=BC.
(1)求证:直线BC
1
∥
平面AB
1
D;
(2)求二面角B
1
-AD-B的大小;
(3)求三棱锥C
1
-ABB
1
的体积.
题型:北京
难度:
|
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