空间内5个平面最多可将空间分成______个部分.

空间内5个平面最多可将空间分成______个部分.

题型:不详难度:来源:
空间内5个平面最多可将空间分成______个部分.
答案
首先:研究n条直线最多可将平面分割成多少个部分?(这n条直线中,任两条不平行,任三条不交于同一点),设n条直线最多可将平面分割成 bn个部分,那么当n=1,2,3时,易知平面最多被分为2,4,7个部分.
当n=k时,设 条直线将平面分成了 bk个部分,接着当添加上第k+1条直线时,这条直线与前 条直线相交有k个交点,这k个交点将第k条直线分割成n段,而每一段将它所在的区域一分为二,从而增加了k+1个区域,故得递推关系式bk+1=bk+(k+1),即bk+1-bk=k+1.显然当k=1时,b1=2,当k=1,2,…(n-1)时,我们得到n-1个式子:b2-b1=2,b3-b2=3,b4-b3=4,…bn-bn-1=n
将这n-1个式子相加,得bn=
1
2
(n2+n+2)
,即n条直线最多可将平面分割成
1
2
(n2+n+2)
个部分.
我们来归纳一下解决这个问题的思路:从简单情形入手,确定 bk与 bk+1的递推关系,最后得出结论.
现在,我们回到原问题,用刚才的思路来解决空间的问题,设k个平面将空间分割成 ak个部分,再添加上第k+1个平面,这个平面与前k个平面相交有k条交线,这k条交线,任意三条不共点,任意两条不平行,因此这第k+1个平面就被这k条直线分割成 bk个部分.
而这 bk个部分平面中的每一个,都把它所通过的那一部分空间分割成两个较小的空间.所以,添加上这第k+1个平面后就把原有的空间数增加了bk 个部分.由此的递推关系式
ak+1=ak+bk,即ak+1-ak=bk,当k=1,2,…(n-1)时,我们得到n-1个式子:a2-a1=b1,a3-a2=b2,a4-a3=b3,…an-an-1=bn-1
将这n-1个式子相加,得 an=a1+(b1+b2+…+bn-1),所以:an=[
1
2
(12+1+2)+
1
2
(22+2+2)+…+ 
1
2
(
n2+n+2)]=2+
1
2
{[12+22+…+(n-1)2]+[(1+2+…+(n-1)]
+2(n-1)}
=n+1+
1
2
[
1
6
(n-1)n(2n-1)
1
2
(n-1)n]
=n+1+
1
6
(n-1)n(n+1)=
n3+5n+6
6


所以:n个平面最多可将平面分割成
n3+5n+6
6
个部分.当n=5时,空间内5个平面最多可将空间分成 26个部分.
故答案为:26.
举一反三
下列说法不正确的是______.
①.空间中,一组对边平行且相等的四边形是一定是平行四边形;
②.同一平面的两条垂线一定共面;
③.过直线上一点可以作无数条直线与这条直线垂直,且这些直线都在同一个平面内;
④.过一条直线有且只有一个平面与已知平面垂直.
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空间三条直线a,b,c中,b和c是一对异面直线,取三条直线中某两条直线确定平面,那么可以确定平面个数是(  )
A.0或1B.1或2C.0或2D.0或1或2
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不共面的四点可以确定平面的个数是______.
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下列命题中正确的是(  )
A.空间三点可以确定一个平面
B.垂直于同一条直线的两条直线平行
C.四边相等的四边形是菱形
D.既不相交也不平行的两条直线是异面直线
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空间中的三条直线能确定的平面个数是______.
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