已知椭圆C1：＋y2＝1，椭圆C2以C1的长轴为短轴，且与C1有相同的离心率．(1)求椭圆C2的方程；(2)设O为坐标原点，点A，B分别在椭圆C1和C2上，＝2

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已知椭圆C₁：＋y²＝1，椭圆C₂以C₁的长轴为短轴，且与C₁有相同的离心率．
(1)求椭圆C₂的方程；
(2)设O为坐标原点，点A，B分别在椭圆C₁和C₂上，＝2，求直线AB的方程．

答案

（1）＝1（2）y＝x或y＝－x

解析

(1)由已知可设椭圆C₂的方程为＝1(a>2)，
其离心率为，故＝，解得a＝4.故椭圆C₂的方程为＝1.
(2)A，B两点的坐标分别记为(x_A，y_A)，(x_B，y_B)，
由＝2及(1)知，O，A，B三点共线且点A，B不在y轴上，因此可设直线AB的方程为y＝kx.
将y＝kx代入＋y²＝1中，得(1＋4k²)x²＝4，所以.
将y＝kx代入＝1中，得(4＋k²)x²＝16，所以.
又由＝2，得，
∴，解得k＝±1.
故直线AB的方程为y＝x或y＝－x.