(1)设点M(x,y)是曲线C上任意一点, ∵PM⊥x轴,且 =2 , 所以点P的坐标为(x,3y), 又点P在椭圆 + =1上,所以 + =1, 因此曲线C的方程是 +y2=1. (2)当直线l的斜率不存在时,显然不满足条件,所以设直线l的方程为y=kx-2,直线l与椭圆交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点. 由 得(1+4k2)x2-16kx+12=0, 依题意Δ=(16k)2-48(1+4k2)>0,得k2> (*), 此时x1+x2= ,x1x2= . 因为 = + ,所以四边形OANB为平行四边形. 又四边形OANB是矩形,所以 · =0, 即x1x2+y1y2=x1x2+k2x1x2-2k(x1+x2)+4=(1+k2)x1x2-2k(x1+x2)+4=0, ∴(1+k2)· -2k· +4=0, 解之得k2=4,∴k=±2.满足(*)式. 设N(x0,y0),由 = + ,得 y0=y1+y2=k(x1+x2)-4= -4=- , 从而点N在直线y=- 上,满足题设, 故直线l的方程为y=±2x-2. |