已知空间四点A、B、C、D和两平面M、N,又知A、B、C、D在M内的射影A1B1C1D1是一条直线,在N内的射影A2B2C2D2是一个平行四边形,求证ABCD是
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已知空间四点A、B、C、D和两平面M、N,又知A、B、C、D在M内的射影A1B1C1D1是一条直线,在N内的射影A2B2C2D2是一个平行四边形,求证ABCD是一个平行四边形. |
答案
证明:(1)先证A、B、C、D四点共面 设通过直线A1B1C1D1而垂直于平面M的平面为P 则因AA1⊥平面M,而A1又在直线A1B1C1D1上, 所以点A在平面P内,同理点B、C、D均在平面P内, 即A、B、C、D四点共面 (2)证ABCD是一个平行四边形 若AB与DC相交于E, 则其在平面N内的射影A2B2与D2C2也相交于E2, 此与A2B2∥D2C2的假设相违,所以AB∥DC,同理AD∥BC 故ABCD是一个平行四边形. |
举一反三
下列关于互不相同的直线l,m,n和平面α,β,γ的命题,其中为真命题的是( )A.若l∥α,m∥α,则l∥m | B.若l,m与α所成的角相等,则l∥m | C.若α⊥β,β⊥γ,则α⊥γ | D.若α∩β=l,β∩γ=m,γ∩α=n,l∥γ,则m∥n |
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已知平面α⊥β,α∩β=l,P是空间一点,且P到α、β的距离分别是1、2,则点P到l的距离为______. |
互不重合的三个平面可以把空间分成n个部分,则n等于( )A.4或6 | B.6或8 | C.4,6或8 | D.4,6,7或8 |
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锐角△ABC的三高线为AD、BE、CF,垂心为H,求证:HD平分∠EDF. |
已知空间四边形ABCD,E、H分别是AB、AD的中点,F、G分别是边BC、DC的三等分点(如图),求证: (1)对角线AC、BD是异面直线; (2)直线EF和HG必交于一点,且交点在AC上. |
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