已知空间四边形ABCD中,AB⊥CD,AC⊥BD,求证:AD⊥BC.

已知空间四边形ABCD中,AB⊥CD,AC⊥BD,求证:AD⊥BC.

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已知空间四边形ABCD中,AB⊥CD,AC⊥BD,求证:AD⊥BC.
答案
证明:


AD


BC
=(


AB
+


BD
)•(


AC
-


AB
)

=


AB


AC
+


BD


AC
-


AB
2
-


AB


BD

=


AB
•(


AC
-


AB
-


BD
)=


AB


DC

=0


AD


BC

∴AD⊥BC.
举一反三
如图,平面ABEF⊥平面ABCD,四边形ABEF与ABCD都是直角梯形,∠BAD=∠FAB=90°,BC
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.
已知下列四个命题:
①若一条直线垂直于一个平面内无数条直线,则这条直线与这个平面垂直;
②若一条直线平行于一个平面,则垂直于这条直线的直线必垂直于这个平面;
③若一条直线平行一个平面,另一条直线垂直这个平面,则这两条直线垂直;
④若两条直线垂直,则过其中一条直线有唯一一个平面与另外一条直线垂直;
其中真命题的序号是(  )
A.①②B.②③C.②④D.③④
已知异面直线a,b分别在平面α,β内,且α∩β=c,那么直线c一定(  )
A.与a,b都相交
B.只能与a,b中的一条相交
C.至少与a,b中的一条相交
D.与a,b都平行
已知A、B、C、D是空间不共面的四个点,且AB⊥CD,AD⊥BC,则直线BD与AC(  )
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A.垂直B.平行
C.相交D.位置关系不确定
已知两条直线a、b及平面α有四个命题:
①若ab且aα则bα;
②若a⊥α且b⊥α则ab;
③若a⊥α且a⊥b则bα;
④若aα且a⊥b则b⊥α;其中正确的命题是(  )
A.1B.2C.3D.4